Номер 4, страница 41, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Определите графически количество корней уравнения

$\sqrt{x+3} = 4 - x^2$.

Для того чтобы определить графически количество корней уравнения $\sqrt{x+3} = 4 - x^2$, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = \sqrt{x+3}$ и $y = 4 - x^2$. Количество точек пересечения этих графиков и будет являться количеством корней исходного уравнения.

1. Построим график функции $y = \sqrt{x+3}$.
Это график стандартной функции $y = \sqrt{x}$, который сдвинут на 3 единицы влево вдоль оси абсцисс (Ox). Область определения функции задается условием $x+3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$. График представляет собой ветвь параболы, начинающуюся в точке $(-3; 0)$ и проходящую через точки, например, $(-2; 1)$ и $(1; 2)$.

2. Построим график функции $y = 4 - x^2$.
Это парабола, ветви которой направлены вниз. Ее график получается из графика $y = -x^2$ сдвигом на 4 единицы вверх вдоль оси ординат (Oy). Вершина параболы находится в точке $(0; 4)$. Парабола пересекает ось Ox в точках, где $y=0$, то есть $4-x^2=0$, откуда $x = -2$ и $x = 2$. Точки пересечения с осью Ox: $(-2; 0)$ и $(2; 0)$.

3. Определим количество точек пересечения.
Совместим оба графика в одной системе координат. Поскольку левая часть уравнения ($\sqrt{x+3}$) не может быть отрицательной, нас интересуют только те точки пересечения, где ордината $y \ge 0$. Для параболы $y = 4-x^2$ это условие выполняется при $x \in [-2, 2]$.
Сравнивая поведение функций, видим, что:

• При $x=-2$, $y=\sqrt{x+3}=1$, а $y=4-x^2=0$. График корня выше.
• При $x=0$, $y=\sqrt{x+3}=\sqrt{3}\approx1.73$, а $y=4-x^2=4$. График параболы выше.
• При $x=2$, $y=\sqrt{x+3}=\sqrt{5}\approx2.24$, а $y=4-x^2=0$. График корня выше.

На интервале от -2 до 0 происходит одно пересечение, так как один график "обгоняет" другой. Аналогично, на интервале от 0 до 2 происходит второе пересечение. Таким образом, графики функций пересекаются в двух точках.

Следовательно, исходное уравнение имеет два корня.
Ответ: 2.