Номер 3, страница 44, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Постройте график функции $f(x) = x^2 - 8x + 7$. Используя график, найдите:

1) область значений данной функции;

2) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

3) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения, а при каких — отрицательные.

Для построения графика функции $f(x) = x^2 - 8x + 7$ найдем основные параметры параболы.

• Это квадратичная функция, график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1 ($a > 0$), значит, ветви параболы направлены вверх.
• Найдем координаты вершины параболы $(x_v; y_v)$. Абсцисса вершины находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. Для данной функции $a=1$, $b=-8$.
  $x_v = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$.
  Для нахождения ординаты вершины подставим $x_v$ в функцию:
  $y_v = f(4) = 4^2 - 8(4) + 7 = 16 - 32 + 7 = -9$.
  Координаты вершины: $(4; -9)$.
• Найдем точки пересечения графика с осями координат.
  С осью Oy (при $x=0$): $f(0) = 0^2 - 8(0) + 7 = 7$. Точка пересечения — $(0; 7)$.
  С осью Ox (нули функции, при $f(x)=0$): $x^2 - 8x + 7 = 0$.
  По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 8$ и $x_1 \cdot x_2 = 7$. Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 7$.
  Точки пересечения — $(1; 0)$ и $(7; 0)$.

Используя вершину $(4; -9)$, точки пересечения с осями $(1; 0)$, $(7; 0)$, $(0; 7)$ и симметричную точке $(0; 7)$ относительно оси симметрии $x=4$ точку $(8; 7)$, строим график функции. График представляет собой параболу, проходящую через эти точки, с вершиной в точке $(4; -9)$ и ветвями, направленными вверх.

1) область значений данной функции

Область значений функции — это все возможные значения, которые принимает переменная $y$. Так как ветви параболы направлены вверх, ее наименьшее значение достигается в вершине. Ордината вершины равна -9. Все остальные значения функции больше этого числа. Таким образом, область значений функции — это промежуток от -9, включая -9, до плюс бесконечности.
Ответ: $E(f) = [-9; +\infty)$.

2) промежуток возрастания и промежуток убывания функции

По графику видно, что функция убывает слева от своей вершины и возрастает справа от нее. Абсцисса вершины $x = 4$ является точкой экстремума (минимума). На промежутке от $-\infty$ до 4 функция убывает, а на промежутке от 4 до $+\infty$ функция возрастает.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 4]$ и возрастает на промежутке $[4; +\infty)$.

3) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения, а при каких — отрицательные

Функция принимает положительные значения ($f(x) > 0$), когда ее график находится выше оси Ox. Это происходит на интервалах левее и правее корней функции ($x=1$ и $x=7$). Функция принимает отрицательные значения ($f(x) < 0$), когда ее график находится ниже оси Ox. Это происходит на интервале между корнями.
Ответ: функция принимает положительные значения при $x \in (-\infty; 1) \cup (7; +\infty)$; функция принимает отрицательные значения при $x \in (1; 7)$.