Страница 21 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Множеством решений какого из данных неравенств является множество действительных чисел?

1) $\frac{x^2 + 4}{x^2} \ge 0$

2) $\frac{x^2 - 4}{x^2 - 4} \le 1$

3) $\frac{x^2 + 4}{x^2 + 4} \le 1$

4) $\frac{x^2 - 4}{x^2 - 4} > 0$

Для того чтобы множеством решений неравенства было множество всех действительных чисел, неравенство должно выполняться для любого действительного значения переменной $x$. Проверим каждое из предложенных неравенств.

1) $\frac{x^2 + 4}{x^2} \ge 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) этого неравенства определяется условием $x^2 \neq 0$, то есть $x \neq 0$. При любом $x$ из ОДЗ, числитель $x^2 + 4$ всегда положителен (так как $x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 + 4 \ge 4$) и знаменатель $x^2$ также всегда положителен. Частное двух положительных чисел всегда положительно, поэтому неравенство $\frac{x^2 + 4}{x^2} > 0$ выполняется для всех $x \neq 0$. Множество решений не включает $x=0$, следовательно, это не множество всех действительных чисел.

Ответ: $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

2) $\frac{x^2 - 4}{x^2 - 4} \le 1$

ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow x^2 \neq 4 \Rightarrow x \neq \pm 2$. Для всех $x$ из ОДЗ выражение $\frac{x^2 - 4}{x^2 - 4}$ равно 1. Неравенство принимает вид $1 \le 1$, что является верным утверждением. Решением являются все числа из ОДЗ. Поскольку $x=2$ и $x=-2$ не входят в решение, это не множество всех действительных чисел.

Ответ: $(-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty)$.

3) $\frac{x^2 + 4}{x^2 + 4} \le 1$

ОДЗ: знаменатель $x^2 + 4$ не должен быть равен нулю. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 4 \ge 4$, следовательно, знаменатель никогда не равен нулю. ОДЗ — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$). Для любого действительного $x$ выражение $\frac{x^2 + 4}{x^2 + 4}$ равно 1. Неравенство принимает вид $1 \le 1$, что является верным утверждением для любого $x$. Следовательно, множеством решений является множество всех действительных чисел.

Ответ: $(-\infty, +\infty)$.

4) $\frac{x^2 - 4}{x^2 - 4} > 0$

ОДЗ: $x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2$. Для всех $x$ из ОДЗ выражение $\frac{x^2 - 4}{x^2 - 4}$ равно 1. Неравенство принимает вид $1 > 0$, что является верным утверждением. Решением являются все числа из ОДЗ. Поскольку $x=2$ и $x=-2$ не входят в решение, это не множество всех действительных чисел.

Ответ: $(-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty)$.

2. Укажите рисунок, на котором изображено множество решений неравенства $-2(4-x) \le -1 - 5x$.

1) 2) 3) 4)

Чтобы найти множество решений неравенства, решим его шаг за шагом. Исходное неравенство:

$-2(4 - x) \le -1 - 5x$

1. Раскроем скобки в левой части неравенства:

$-8 + 2x \le -1 - 5x$

2. Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а числовые слагаемые — в правой. Для этого перенесем $-5x$ влево со знаком плюс и $-8$ вправо со знаком плюс:

$2x + 5x \le -1 + 8$

3. Приведем подобные слагаемые в обеих частях неравенства:

$7x \le 7$

4. Разделим обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на 7. Так как 7 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$x \le 1$

Таким образом, решением неравенства является множество всех чисел, меньших или равных 1. На числовой прямой это соответствует промежутку $(-\infty; 1]$. Этот промежуток изображается закрашенной точкой на отметке 1 (поскольку неравенство нестрогое и включает саму точку 1) и штриховкой, идущей от этой точки влево, в сторону минус бесконечности.

Сравним этот результат с предложенными вариантами:

• 1) $x \ge 1$
• 2) $x \le 1$
• 3) $x \ge -1$
• 4) $x \le -1$

Наше решение $x \le 1$ совпадает с рисунком под номером 2.

Ответ: 2

3. Решите неравенство:

1) $(\frac{x+3}{x-3})^2 \ge 0;$

2) $\frac{2x-3}{6} - \frac{x-8}{9} \le 1;$

3) $(x-2)^2 - (x-7)^2 > 15.$

1) Решить неравенство $(\frac{x+3}{x-3})^2 \ge 0$.

Левая часть неравенства представляет собой квадрат выражения. Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательным числом, то есть большим или равным нулю. Следовательно, данное неравенство выполняется для всех значений $x$, при которых выражение в левой части имеет смысл.

Дробное выражение не имеет смысла, когда его знаменатель равен нулю. Найдем это значение $x$:

$x - 3 \ne 0$

$x \ne 3$

Таким образом, мы должны исключить только значение $x=3$ из множества всех действительных чисел. При $x=-3$ числитель равен нулю, и все выражение равно $0$, что удовлетворяет условию $0 \ge 0$. При всех остальных $x \ne 3$, выражение в скобках не равно нулю, и его квадрат будет строго больше нуля.

Следовательно, решением неравенства является любое действительное число, кроме 3.

Ответ: $x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

2) Решить неравенство $\frac{2x-3}{6} - \frac{x-8}{9} \le 1$.

Для решения этого линейного неравенства сначала избавимся от дробей. Для этого найдем наименьший общий знаменатель чисел 6 и 9. НОК(6, 9) = 18.

Умножим обе части неравенства на 18. Так как 18 — положительное число, знак неравенства не изменится.

$18 \cdot \left(\frac{2x-3}{6} - \frac{x-8}{9}\right) \le 1 \cdot 18$

$18 \cdot \frac{2x-3}{6} - 18 \cdot \frac{x-8}{9} \le 18$

$3(2x-3) - 2(x-8) \le 18$

Раскроем скобки:

$6x - 9 - 2x + 16 \le 18$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$4x + 7 \le 18$

Перенесем 7 в правую часть неравенства с противоположным знаком:

$4x \le 18 - 7$

$4x \le 11$

Разделим обе части на 4:

$x \le \frac{11}{4}$

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{11}{4}]$.

3) Решить неравенство $(x-2)^2 - (x-7)^2 > 15$.

Левая часть неравенства представляет собой разность квадратов. Применим формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

В нашем случае $a = x-2$ и $b = x-7$.

$((x-2) - (x-7))((x-2) + (x-7)) > 15$

Упростим выражения в каждой скобке:

Первая скобка: $(x-2-x+7) = 5$

Вторая скобка: $(x-2+x-7) = 2x-9$

Получаем неравенство:

$5(2x-9) > 15$

Разделим обе части неравенства на 5. Так как 5 — положительное число, знак неравенства не изменится.

$2x-9 > 3$

Перенесем -9 в правую часть с противоположным знаком:

$2x > 3 + 9$

$2x > 12$

Разделим обе части на 2:

$x > 6$

Ответ: $x \in (6; +\infty)$.

4. При каких значениях $a$ уравнение $x^2 + 3x + 2a - 1 = 0$ имеет два различных действительных корня?

Данное уравнение $x^2 + 3x + 2a - 1 = 0$ является квадратным уравнением общего вида $Ax^2 + Bx + C = 0$.

Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня тогда и только тогда, когда его дискриминант ($D$) строго больше нуля ($D > 0$).

Формула для вычисления дискриминанта: $D = B^2 - 4AC$.

Определим коэффициенты для нашего уравнения:

• $A = 1$
• $B = 3$
• $C = 2a - 1$

Подставим эти коэффициенты в формулу дискриминанта:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a - 1)$

Теперь упростим полученное выражение:

$D = 9 - 4(2a - 1)$

$D = 9 - 8a + 4$

$D = 13 - 8a$

Чтобы уравнение имело два различных действительных корня, должно выполняться условие $D > 0$:

$13 - 8a > 0$

Решим это линейное неравенство относительно $a$:

$13 > 8a$

$8a < 13$

$a < \frac{13}{8}$

Таким образом, уравнение имеет два различных действительных корня при всех значениях $a$, которые меньше $\frac{13}{8}$.

Ответ: $a \in (-\infty; \frac{13}{8})$