Страница 19 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какое из приведённых чисел является решением неравенства $2x > x - 6$?

1) -6

2) -7

3) -5

4) -6,1

Для того чтобы определить, какое из приведённых чисел является решением, решим неравенство $2x > x - 6$.

Перенесём слагаемое $x$ из правой части в левую с противоположным знаком:

$2x - x > -6$

Приведём подобные слагаемые в левой части:

$x > -6$

Решением неравенства являются все числа, которые строго больше $-6$. Теперь необходимо проверить, какое из предложенных чисел удовлетворяет этому условию.

1) -6

Проверяем условие: $-6 > -6$. Это неверно, так как числа равны.

2) -7

Проверяем условие: $-7 > -6$. Это неверно.

3) -5

Проверяем условие: $-5 > -6$. Это верно, так как $-5$ больше, чем $-6$.

4) -6,1

Проверяем условие: $-6,1 > -6$. Это неверно.

Таким образом, единственным решением из предложенных является число $-5$.

Ответ: 3

2. Укажите рисунок, на котором изображено множество решений неравенства $-3x \ge 12$.

1) Числовая прямая с закрашенной точкой на 4 и штриховкой вправо.

2) Числовая прямая с закрашенной точкой на 4 и штриховкой влево.

3) Числовая прямая с закрашенной точкой на -4 и штриховкой вправо.

4) Числовая прямая с закрашенной точкой на -4 и штриховкой влево.

Для решения данного линейного неравенства необходимо найти все значения $x$, которые ему удовлетворяют.

Исходное неравенство:
$-3x \ge 12$

Чтобы выделить переменную $x$, разделим обе части неравенства на коэффициент при ней, то есть на $-3$. Согласно правилам решения неравенств, при делении или умножении обеих частей на отрицательное число, знак неравенства необходимо поменять на противоположный (в данном случае, знак $\ge$ меняется на $\le$).

$\frac{-3x}{-3} \le \frac{12}{-3}$

Выполняем деление:
$x \le -4$

Полученное решение $x \le -4$ означает, что множество решений включает в себя все числа, которые меньше или равны $-4$. На числовой прямой это изображается в виде луча, идущего влево от точки $-4$. Так как неравенство нестрогое (знак $\le$), точка $-4$ включается в множество решений, что на графике обозначается закрашенным (сплошным) кружком.

Проанализируем предложенные рисунки:

1) Изображено множество $x \ge 4$.

2) Изображено множество $x \le 4$.

3) Изображено множество $x \ge -4$.

4) Изображено множество $x \le -4$.

Таким образом, нашему решению $x \le -4$ соответствует рисунок под номером 4.

Ответ: 4

3. Решите неравенство:

1) $6x - 5 > 2x + 19;$

2) $(x - 2)(x - 3) < (x - 4)(x + 4);$

3) $\frac{x+3}{2} - \frac{x-4}{7} \le 1.$

1) $6x - 5 > 2x + 19$

Это линейное неравенство. Для его решения сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а постоянные члены — в правой.

$6x - 2x > 19 + 5$

Приведем подобные слагаемые:

$4x > 24$

Разделим обе части неравенства на 4. Так как 4 — положительное число, знак неравенства не меняется.

$x > \frac{24}{4}$

$x > 6$

Решение можно записать в виде интервала: $(6; +\infty)$.

Ответ: $x > 6$.

2) $(x - 2)(x - 3) < (x - 4)(x + 4)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства. В правой части используем формулу разности квадратов.

$x^2 - 3x - 2x + 6 < x^2 - 4^2$

$x^2 - 5x + 6 < x^2 - 16$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые. Члены с $x^2$ взаимно уничтожатся.

$x^2 - 5x + 6 - x^2 + 16 < 0$

$-5x + 22 < 0$

Перенесем 22 в правую часть, изменив знак.

$-5x < -22$

Разделим обе части неравенства на -5. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

$x > \frac{-22}{-5}$

$x > \frac{22}{5}$

Решение можно записать в виде $x > 4.4$ или интервалом $(\frac{22}{5}; +\infty)$.

Ответ: $x > \frac{22}{5}$.

3) $\frac{x + 3}{2} - \frac{x - 4}{7} \le 1$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, который равен $НОК(2, 7) = 14$.

$14 \cdot \frac{x + 3}{2} - 14 \cdot \frac{x - 4}{7} \le 14 \cdot 1$

$7(x + 3) - 2(x - 4) \le 14$

Раскроем скобки:

$7x + 21 - 2x + 8 \le 14$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$5x + 29 \le 14$

Перенесем 29 в правую часть:

$5x \le 14 - 29$

$5x \le -15$

Разделим обе части на 5:

$x \le \frac{-15}{5}$

$x \le -3$

Решение можно записать в виде интервала $(-\infty; -3]$.

Ответ: $x \le -3$.

4. При каких значениях $a$ уравнение $x^2 + 6x + 3a = 0$ не имеет корней?

Данное уравнение $x^2 + 6x + 3a = 0$ является квадратным уравнением вида $Ax^2 + Bx + C = 0$. Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант (D) отрицателен, то есть $D < 0$.
Формула для вычисления дискриминанта: $D = B^2 - 4AC$.
Для уравнения $x^2 + 6x + 3a = 0$ коэффициенты следующие:
$A = 1$
$B = 6$
$C = 3a$
Подставим эти значения в формулу дискриминанта:
$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3a) = 36 - 12a$
Теперь решим неравенство $D < 0$, чтобы найти значения $a$, при которых уравнение не имеет корней:
$36 - 12a < 0$
Перенесем $12a$ в правую часть неравенства, поменяв знак:
$36 < 12a$
Разделим обе части неравенства на 12 (знак неравенства не меняется, так как 12 > 0):
$\frac{36}{12} < a$
$3 < a$
Таким образом, уравнение не имеет корней при $a > 3$.
Ответ: $a > 3$.