Номер 3, страница 25, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Решите систему неравенств:

1)

2)

3)

1)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство:
$(x - 3)(x + 6) > (x - 4)(x + 4)$
Раскроем скобки в обеих частях неравенства:
$x^2 + 6x - 3x - 18 > x^2 - 16$
$x^2 + 3x - 18 > x^2 - 16$
Перенесем члены с $x^2$ в одну сторону, а остальные в другую:
$x^2 - x^2 + 3x > -16 + 18$
$3x > 2$
$x > \frac{2}{3}$

Второе неравенство:
$(x - 6)^2 < x(x - 2)$
Раскроем скобки:
$x^2 - 12x + 36 < x^2 - 2x$
Перенесем члены с $x^2$ и $x$ в одну сторону, а свободные члены в другую:
$x^2 - x^2 - 12x + 2x < -36$
$-10x < -36$
Разделим обе части на -10, изменив знак неравенства на противоположный:
$x > \frac{-36}{-10}$
$x > 3.6$

Теперь найдем пересечение решений двух неравенств: $x > \frac{2}{3}$ и $x > 3.6$. Общим решением будет более сильное неравенство, то есть $x > 3.6$.

Ответ: $(3.6; +\infty)$

2)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство:
$\frac{3x - 3}{4} - \frac{x + 2}{2} \le 2x$
Умножим обе части неравенства на общий знаменатель 4, чтобы избавиться от дробей:
$4 \cdot \frac{3x - 3}{4} - 4 \cdot \frac{x + 2}{2} \le 4 \cdot 2x$
$(3x - 3) - 2(x + 2) \le 8x$
Раскроем скобки:
$3x - 3 - 2x - 4 \le 8x$
$x - 7 \le 8x$
Перенесем переменные в одну сторону, а константы в другую:
$-7 \le 8x - x$
$-7 \le 7x$
$-1 \le x$, или $x \ge -1$

Второе неравенство:
$8x + 4 \ge 10x + 1$
Перенесем переменные в одну сторону, а константы в другую:
$4 - 1 \ge 10x - 8x$
$3 \ge 2x$
$x \le \frac{3}{2}$, или $x \le 1.5$

Найдем пересечение решений: $x \ge -1$ и $x \le 1.5$. Объединяя эти два условия, получаем двойное неравенство: $-1 \le x \le 1.5$.

Ответ: $[-1; 1.5]$

3)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство:
$1 - x \le 6x - (3x - 1)$
Раскроем скобки в правой части:
$1 - x \le 6x - 3x + 1$
$1 - x \le 3x + 1$
Перенесем переменные в одну сторону, а константы в другую:
$1 - 1 \le 3x + x$
$0 \le 4x$
$x \ge 0$

Второе неравенство:
$3(x - 1) - x > 2x + 7$
Раскроем скобки в левой части:
$3x - 3 - x > 2x + 7$
$2x - 3 > 2x + 7$
Перенесем переменные в одну сторону, а константы в другую:
$2x - 2x > 7 + 3$
$0 > 10$
Получили неверное числовое неравенство. Это означает, что второе неравенство не имеет решений.

Так как одно из неравенств системы не имеет решений, то и вся система не имеет решений.

Ответ: нет решений