Номер 5, страница 16, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Дано: $8 < x < 12$ и $2 < y < 4$. Оцените значение выражения:

1) $5x - 2y$;

2) $\frac{x}{y}$.

1) 5x – 2y;

Чтобы оценить значение выражения $5x - 2y$, нам нужно сначала оценить значения $5x$ и $-2y$ по отдельности, а затем сложить полученные неравенства.
1. Оценим $5x$. У нас есть неравенство $8 < x < 12$. Умножим все его части на 5. Так как 5 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:
$8 \cdot 5 < 5x < 12 \cdot 5$
$40 < 5x < 60$
2. Оценим $-2y$. У нас есть неравенство $2 < y < 4$. Сначала умножим все его части на 2:
$2 \cdot 2 < 2y < 4 \cdot 2$
$4 < 2y < 8$
Теперь умножим полученное неравенство на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$-4 > -2y > -8$
Запишем это в более привычном виде, поменяв местами левую и правую части:
$-8 < -2y < -4$
3. Теперь сложим почленно два полученных неравенства:
$40 < 5x < 60$
$+\quad -8 < -2y < -4$
$--------------------$
$40 + (-8) < 5x + (-2y) < 60 + (-4)$
$32 < 5x - 2y < 56$
Ответ: $32 < 5x - 2y < 56$.

2) x/y

Чтобы оценить значение дроби $\frac{x}{y}$, где $x$ и $y$ положительны, нужно найти ее наименьшее и наибольшее возможные значения.
Наименьшее значение дробь принимает, когда числитель $x$ минимален, а знаменатель $y$ максимален.
Наибольшее значение дробь принимает, когда числитель $x$ максимален, а знаменатель $y$ минимален.
Из условий $8 < x < 12$ и $2 < y < 4$ следует:
Наименьшее значение дроби: $\frac{min(x)}{max(y)} = \frac{8}{4} = 2$.
Наибольшее значение дроби: $\frac{max(x)}{min(y)} = \frac{12}{2} = 6$.
Таким образом, значение выражения $\frac{x}{y}$ находится между 2 и 6.
Формально это можно записать так:
Из $2 < y < 4$ следует, что $\frac{1}{4} < \frac{1}{y} < \frac{1}{2}$.
Теперь перемножим почленно неравенства для $x$ и $\frac{1}{y}$ (так как все части неравенств положительны, это допустимо):
$8 < x < 12$
$\times\quad \frac{1}{4} < \frac{1}{y} < \frac{1}{2}$
$--------------------$
$8 \cdot \frac{1}{4} < x \cdot \frac{1}{y} < 12 \cdot \frac{1}{2}$
$2 < \frac{x}{y} < 6$
Ответ: $2 < \frac{x}{y} < 6$.