Номер 5, страница 17, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Дано: $4 < a < 6$ и $5 < b < 20$. Оцените значение выражения:

1) $0.2a - 0.3b$;

2) $\frac{a-2}{b}$.

1) 0,2a – 0,3b;

Чтобы оценить значение выражения $0,2a - 0,3b$, необходимо оценить каждое слагаемое по отдельности, используя данные неравенства: $4 < a < 6$ и $5 < b < 20$.

1. Сначала оценим значение $0,2a$. Для этого умножим все части неравенства $4 < a < 6$ на $0,2$. Так как $0,2$ — положительное число, знаки неравенства сохраняются:
$4 \cdot 0,2 < a \cdot 0,2 < 6 \cdot 0,2$
$0,8 < 0,2a < 1,2$

2. Теперь оценим значение $-0,3b$. Сначала найдем границы для $0,3b$, умножив все части неравенства $5 < b < 20$ на $0,3$:
$5 \cdot 0,3 < b \cdot 0,3 < 20 \cdot 0,3$
$1,5 < 0,3b < 6$
Далее, умножим полученное неравенство на $-1$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$-1,5 > -0,3b > -6$
Запишем это неравенство в стандартном виде (от меньшего числа к большему):
$-6 < -0,3b < -1,5$

3. Теперь сложим почленно два полученных неравенства: $0,8 < 0,2a < 1,2$ и $-6 < -0,3b < -1,5$.
$0,8 + (-6) < 0,2a + (-0,3b) < 1,2 + (-1,5)$
$-5,2 < 0,2a - 0,3b < -0,3$

Ответ: $-5,2 < 0,2a - 0,3b < -0,3$

2) $\frac{a-2}{b}$

Для оценки значения дроби необходимо найти границы для ее числителя и знаменателя.

1. Оценим числитель $a-2$. Для этого вычтем $2$ из всех частей исходного неравенства $4 < a < 6$:
$4 - 2 < a - 2 < 6 - 2$
$2 < a - 2 < 4$

2. Знаменатель $b$ находится в границах $5 < b < 20$.

3. Поскольку и числитель ($a-2$), и знаменатель ($b$) всегда положительны в заданных интервалах, вся дробь также будет положительной.
Наименьшее значение дробь принимает, когда ее числитель минимален, а знаменатель максимален.
Наибольшее значение дробь принимает, когда ее числитель максимален, а знаменатель минимален.

Найдем нижнюю границу значения выражения:
$\frac{\text{min}(a-2)}{\text{max}(b)} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} = 0,1$
Найдем верхнюю границу значения выражения:
$\frac{\text{max}(a-2)}{\text{min}(b)} = \frac{4}{5} = 0,8$

Таким образом, значение выражения находится в следующих границах:
$0,1 < \frac{a-2}{b} < 0,8$

Ответ: $0,1 < \frac{a-2}{b} < 0,8$