Номер 5, страница 71, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. В коробке лежат 4 карточки, на которых написаны числа 1, 2, 3 и 5. Какова вероятность того, что произведение чисел, записанных на двух наугад вынутых карточках, будет нечётным числом?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов. Формула выглядит так: $P = \frac{m}{n}$.

Нахождение общего числа исходов (n)
В коробке находится 4 карточки. Нам нужно случайным образом выбрать 2 из них. Порядок, в котором мы вынимаем карточки, не имеет значения, поэтому для нахождения общего числа возможных пар мы используем формулу для числа сочетаний из $n$ по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
В нашем случае общее количество карточек $n = 4$, а количество карточек, которые мы вынимаем, $k = 2$.
$n = C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$.
Таким образом, существует всего 6 уникальных пар карточек, которые можно вытащить.

Нахождение числа благоприятных исходов (m)
Нас интересует событие, при котором произведение чисел на двух вынутых карточках будет нечетным. Произведение двух целых чисел является нечетным тогда и только тогда, когда оба сомножителя являются нечетными.
Из имеющихся чисел {1, 2, 3, 5} нечетными являются три числа: {1, 3, 5}.
Следовательно, для получения нечетного произведения нам необходимо выбрать две карточки из этих трех нечетных. Найдем количество таких сочетаний, где $n = 3$ (количество нечетных чисел) и $k = 2$ (количество выбираемых карточек).
$m = C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = \frac{3}{1} = 3$.
Существует 3 пары карточек, произведение чисел на которых будет нечетным: (1, 3), (1, 5) и (3, 5).

Расчет вероятности
Теперь, зная общее число исходов ($n=6$) и число благоприятных исходов ($m=3$), мы можем рассчитать искомую вероятность:
$P = \frac{m}{n} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0.5$.

Ответ: 0,5