Номер 3, страница 68, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Сейфовый замок имеет 10 кнопок, на каждой из которых написана одна буква, причём все буквы различны. Для открытия сейфа необходимо нажать 5 разных кнопок в определённой последовательности. Сколько существует кодов (наборов из разных кнопок), состоящих из 5 букв, для этого замка?

Для решения данной задачи необходимо использовать формулы комбинаторики. У нас есть 10 различных кнопок (букв), и нам нужно составить из них код, который представляет собой последовательность из 5 различных кнопок.

Поскольку порядок нажатия кнопок важен (код — это определенная последовательность), а кнопки в коде не могут повторяться (5 разных кнопок), мы имеем дело с размещениями без повторений.

Число размещений из $n$ элементов по $k$ элементов обозначается как $A_n^k$ и вычисляется по формуле:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае:

• $n = 10$ (общее количество кнопок на замке)
• $k = 5$ (количество кнопок, которые нужно нажать для открытия)

Подставим эти значения в формулу:

$A_{10}^5 = \frac{10!}{(10-5)!} = \frac{10!}{5!}$

Распишем факториалы для вычисления:

$A_{10}^5 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6$

Теперь вычислим произведение:

$10 \times 9 = 90$

$90 \times 8 = 720$

$720 \times 7 = 5040$

$5040 \times 6 = 30240$

Таким образом, существует 30 240 возможных кодов для данного сейфового замка.

Ответ: 30240