Номер 5, страница 79, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Последовательность ($x_n$) задана формулой $n$-го члена $x_n = -n^2 + 13n - 2$. Сколько членов этой последовательности больше 20?

Для того чтобы найти, сколько членов последовательности $(x_n)$, заданной формулой $x_n = -n^2 + 13n - 2$, больше 20, необходимо решить неравенство $x_n > 20$ относительно $n$, где $n$ — натуральное число.

Составим и решим неравенство:
$-n^2 + 13n - 2 > 20$

Перенесём все слагаемые в левую часть:
$-n^2 + 13n - 2 - 20 > 0$
$-n^2 + 13n - 22 > 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный:
$n^2 - 13n + 22 < 0$

Для решения этого квадратичного неравенства найдём корни соответствующего уравнения $n^2 - 13n + 22 = 0$.
Воспользуемся теоремой Виета или формулой для корней квадратного уравнения.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 22 = 169 - 88 = 81$.
Корни уравнения равны:
$n_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - \sqrt{81}}{2} = \frac{13 - 9}{2} = 2$
$n_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + \sqrt{81}}{2} = \frac{13 + 9}{2} = 11$

Графиком функции $y = n^2 - 13n + 22$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции меньше нуля ($y < 0$) на интервале между корнями.
Таким образом, решение неравенства $n^2 - 13n + 22 < 0$ есть интервал $2 < n < 11$.

Поскольку $n$ — это номер члена последовательности, оно должно быть натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$). Найдём все натуральные числа, которые находятся в интервале $(2; 11)$:
$n \in \{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

Подсчитав количество этих чисел, получим, что их 8.
Ответ: 8