Номер 12, страница 112, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

12. Чему равно наибольшее значение функции $y = 5x^2 - 20x + 1$ на промежутке $[-2; -1]$?

Для нахождения наибольшего значения квадратичной функции $y = 5x^2 - 20x + 1$ на отрезке $[-2; -1]$, определим сначала свойства этой функции. Графиком функции является парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ равен 5 (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

Наименьшее значение такая функция достигает в своей вершине. Найдем абсциссу вершины параболы $x_0$ по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В данном случае коэффициенты $a=5$ и $b=-20$.

$x_0 = -\frac{-20}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2$.

Абсцисса вершины параболы $x_0=2$ не принадлежит заданному отрезку $[-2; -1]$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция убывает на промежутке $(-\infty; 2]$. Отрезок $[-2; -1]$ полностью входит в этот промежуток, следовательно, на отрезке $[-2; -1]$ функция $y = 5x^2 - 20x + 1$ является монотонно убывающей.

Для монотонно убывающей функции на отрезке наибольшее значение достигается в его левой границе, а наименьшее — в правой. Нам нужно найти наибольшее значение, поэтому вычислим значение функции в точке $x = -2$. Для проверки вычислим также значение в точке $x = -1$.

Значение функции в точке $x = -2$:

$y(-2) = 5(-2)^2 - 20(-2) + 1 = 5 \cdot 4 + 40 + 1 = 20 + 40 + 1 = 61$.

Значение функции в точке $x = -1$:

$y(-1) = 5(-1)^2 - 20(-1) + 1 = 5 \cdot 1 + 20 + 1 = 5 + 20 + 1 = 26$.

Сравнивая полученные значения, $61 > 26$, убеждаемся, что наибольшее значение функции на отрезке $[-2; -1]$ равно 61.

Ответ: 61