Номер 1, страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Укажите неравенство, множество решений которого изображено на рисунке 43.

1) $x^2 - 4 \le 0$
2) $x^2 - 2x \le 0$
3) $x^2 - 4 \ge 0$
4) $x^2 - 2x \ge 0$

Рис. 43

На рисунке 43 изображено множество решений, которое представляет собой объединение двух промежутков: $(-\infty, 0]$ и $[2, \infty)$. Это означает, что искомое неравенство выполняется для всех $x$, которые меньше или равны 0, а также для всех $x$, которые больше или равны 2. Точки 0 и 2 являются корнями соответствующего квадратного уравнения. Так как точки закрашены, неравенство является нестрогим (со знаком $\le$ или $\ge$).

Рассмотрим каждое из предложенных неравенств, чтобы найти то, которое соответствует данному множеству решений.

1) $x^2 - 4 \le 0$

Сначала решим уравнение $x^2 - 4 = 0$. Разложим на множители: $(x-2)(x+2)=0$. Корни уравнения: $x_1 = -2$, $x_2 = 2$. Графиком функции $y = x^2 - 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $y \le 0$ выполняется на промежутке между корнями. Таким образом, решением является отрезок $[-2, 2]$. Это не соответствует рисунку.

Ответ: неверно.

2) $x^2 - 2x \le 0$

Решим уравнение $x^2 - 2x = 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(x-2)=0$. Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$. Графиком функции $y = x^2 - 2x$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y \le 0$ выполняется на промежутке между корнями. Решением является отрезок $[0, 2]$. Это не соответствует рисунку.

Ответ: неверно.

3) $x^2 - 4 \ge 0$

Корни соответствующего уравнения $x^2 - 4 = 0$ равны $x_1 = -2$, $x_2 = 2$. Поскольку ветви параболы $y = x^2 - 4$ направлены вверх, неравенство $y \ge 0$ выполняется на промежутках вне отрезка между корнями. Решением является объединение промежутков $(-\infty, -2] \cup [2, \infty)$. Это не соответствует рисунку, так как левая граница равна -2, а не 0.

Ответ: неверно.

4) $x^2 - 2x \ge 0$

Корни соответствующего уравнения $x^2 - 2x = 0$ равны $x_1 = 0$, $x_2 = 2$. Ветви параболы $y = x^2 - 2x$ направлены вверх, поэтому неравенство $y \ge 0$ выполняется на промежутках вне отрезка между корнями. Решением является объединение промежутков $(-\infty, 0] \cup [2, \infty)$. Это множество решений полностью совпадает с изображенным на рисунке.

Ответ: верно.