Номер 11, страница 142, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

11. При каком значении $x$ значения выражений $x + 23$, $5x - 1$ и $2x - 11$ являются последовательными членами арифметической прогрессии?

Пусть данные выражения $x + 23$, $5x - 1$ и $2x - 11$ являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии. Обозначим их как $a_1$, $a_2$ и $a_3$ соответственно:

$a_1 = x + 23$

$a_2 = 5x - 1$

$a_3 = 2x - 11$

Характеристическое свойство арифметической прогрессии для трех последовательных членов гласит, что средний член равен среднему арифметическому его соседей. Это можно записать в виде формулы:

$a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$

Умножив обе части на 2, получим эквивалентное уравнение:

$2a_2 = a_1 + a_3$

Подставим в это уравнение данные нам выражения:

$2(5x - 1) = (x + 23) + (2x - 11)$

Теперь решим полученное уравнение. Сначала раскроем скобки:

$10x - 2 = x + 23 + 2x - 11$

Приведем подобные слагаемые в правой части уравнения:

$10x - 2 = (x + 2x) + (23 - 11)$

$10x - 2 = 3x + 12$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а числовые слагаемые — в правую, меняя их знаки на противоположные:

$10x - 3x = 12 + 2$

$7x = 14$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 7:

$x = \frac{14}{7}$

$x = 2$

Выполним проверку. Подставим найденное значение $x = 2$ в исходные выражения, чтобы найти члены прогрессии:

$a_1 = 2 + 23 = 25$

$a_2 = 5(2) - 1 = 10 - 1 = 9$

$a_3 = 2(2) - 11 = 4 - 11 = -7$

Мы получили последовательность чисел: 25, 9, -7. Проверим, является ли она арифметической прогрессией. Для этого найдем разность между соседними членами:

$d = a_2 - a_1 = 9 - 25 = -16$

$d = a_3 - a_2 = -7 - 9 = -16$

Так как разности равны, то при $x=2$ данные выражения действительно являются последовательными членами арифметической прогрессии с разностью $d = -16$.

Ответ: 2