Вопросы?, страница 10 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 1. Функция - страница 10.

Условие.

1. Что называют функцией?

2. Как записывают, что переменная $y$ функционально зависит от переменной $x$?

3. Что называют аргументом функции?

4. Что называют областью определения функции и как её обозначают?

5. Что называют значением функции?

6. Что называют областью значений функции и как её обозначают?

7. Какую функцию называют числовой?

8. Что называют отображением множества $X$ на множество $Y$?

9. Какое отображение называют взаимно однозначным отображением множества $X$ на множество $Y$?

10. Что надо указать, чтобы функция считалась заданной?

11. Назовите способы задания функции.

12. Что называют графиком функции?

Решение.

1. Что называют функцией?
Функцией (или функциональной зависимостью) называют такую зависимость переменной $y$ от переменной $x$, при которой каждому значению переменной $x$ из некоторого множества $D$ (области определения) соответствует единственное значение переменной $y$ из множества $E$ (области значений). Переменную $x$ называют независимой переменной или аргументом, а переменную $y$ — зависимой переменной или значением функции.
Ответ: Функцией называют зависимость, при которой каждому значению аргумента из области определения соответствует единственное значение функции.

2. Как записывают, что переменная y функционально зависит от переменной x?
Функциональную зависимость переменной $y$ от переменной $x$ записывают с помощью равенства $y = f(x)$, где $f$ — это правило (закон), по которому для каждого $x$ находится соответствующий ему $y$.
Ответ: $y = f(x)$.

3. Что называют аргументом функции?
Аргументом функции называют независимую переменную, от значения которой зависит значение функции. В записи $y = f(x)$ аргументом является переменная $x$.
Ответ: Аргументом функции называют независимую переменную (обычно $x$).

4. Что называют областью определения функции и как её обозначают?
Областью определения функции называют множество всех допустимых значений её аргумента (независимой переменной $x$), при которых функция имеет смысл (т.е. выполнимы все действия, указанные в формуле функции). Область определения обычно обозначают как $D(f)$ или $D(y)$.
Ответ: Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. Обозначается $D(f)$ или $D(y)$.

5. Что называют значением функции?
Значением функции называют то значение, которое принимает зависимая переменная $y$ при конкретном значении аргумента $x$. Для функции $y = f(x)$ значение функции при $x = x_0$ равно $f(x_0)$.
Ответ: Значение функции — это значение зависимой переменной $y$, соответствующее заданному значению аргумента $x$.

6. Что называют областью значений функции и как её обозначают?
Областью значений (или множеством значений) функции называют множество всех значений, которые принимает зависимая переменная $y$. Область значений обычно обозначают как $E(f)$ или $E(y)$.
Ответ: Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает функция. Обозначается $E(f)$ или $E(y)$.

7. Какую функцию называют числовой?
Числовой функцией называют функцию, у которой и область определения, и область значений являются числовыми множествами (то есть подмножествами множества действительных чисел $\mathbb{R}$ ).
Ответ: Числовой называют функцию, область определения и область значений которой являются числовыми множествами.

8. Что называют отображением множества X на множество Y?
Отображением множества $X$ на множество $Y$ называют правило, по которому каждому элементу $x$ из множества $X$ ставится в соответствие некоторый элемент $y$ из множества $Y$. Функция является частным случаем отображения, когда каждому элементу $x \in X$ соответствует строго один элемент $y \in Y$.
Ответ: Отображение множества $X$ на множество $Y$ — это правило, сопоставляющее каждому элементу из $X$ элемент из $Y$.

9. Какое отображение называют взаимно однозначным отображением множества X на множество Y?
Взаимно однозначным отображением (или биекцией) множества $X$ на множество $Y$ называют такое отображение, при котором каждому элементу из $X$ соответствует ровно один элемент из $Y$, и каждому элементу из $Y$ соответствует ровно один элемент из $X$. То есть разные элементы из $X$ переходят в разные элементы из $Y$, и для любого элемента из $Y$ найдётся элемент из $X$, который в него отображается.
Ответ: Взаимно однозначное отображение — это такое отображение, при котором каждый элемент одного множества сопоставляется с единственным элементом другого множества, и наоборот.

10. Что надо указать, чтобы функция считалась заданной?
Чтобы функция считалась заданной, необходимо указать:
1. Область определения функции (множество $X$).
2. Правило (закон) соответствия $f$, по которому для каждого значения аргумента $x$ из области определения можно найти соответствующее ему единственное значение функции $y$.
Часто при задании функции формулой область определения не указывают, подразумевая, что она совпадает с естественной областью определения (множеством всех значений $x$, для которых формула имеет смысл).
Ответ: Чтобы задать функцию, нужно указать её область определения и правило соответствия.

11. Назовите способы задания функции.
Существуют несколько основных способов задания функции:
1. Аналитический — с помощью математической формулы (например, $y = x^2 - 3$).
2. Табличный — в виде таблицы, где для ряда значений аргумента указаны соответствующие им значения функции.
3. Графический — с помощью графика, где каждому значению аргумента на оси абсцисс соответствует значение функции на оси ординат.
4. Словесный — когда правило задаётся словесным описанием (например, "каждому натуральному числу $x$ ставится в соответствие его квадрат").
Ответ: Аналитический (формулой), табличный, графический и словесный.

12. Что называют графиком функции?
Графиком функции $y = f(x)$ называют множество всех точек $(x; y)$ на координатной плоскости, абсциссы ($x$) которых являются всеми допустимыми значениями аргумента из области определения функции, а ординаты ($y$) — соответствующими значениями функции.
Ответ: График функции — это множество всех точек координатной плоскости с координатами $(x; f(x))$, где $x$ принадлежит области определения функции.