Номер 1.4, страница 11 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 1. Функция - номер 1.4, страница 11.

Условие.

1.4. Найдите, не выполняя построения, точки пересечения графика функции с осями координат:

1) $h(x) = 9 - 10x;$

2) $p(x) = 4x^2 + x - 3;$

3) $s(x) = \frac{x^2 - 2}{x^2 + 2}.$

Решение.

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, не выполняя построения, нужно:

• Для нахождения точки пересечения с осью ординат (Oy) подставить $x = 0$ в уравнение функции и вычислить $y$. Координаты этой точки будут $(0, y)$.

• Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс (Ox) приравнять функцию к нулю ($y = 0$) и решить полученное уравнение относительно $x$. Координаты этих точек будут $(x, 0)$.

1) $h(x) = 9 - 10x$

Найдём точку пересечения с осью Oy, подставив $x=0$:
$y = h(0) = 9 - 10 \cdot 0 = 9$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, 9)$.

Найдём точку пересечения с осью Ox, приравняв $h(x)$ к нулю:
$9 - 10x = 0$
$10x = 9$
$x = \frac{9}{10} = 0.9$.
Точка пересечения с осью Ox: $(0.9, 0)$.

Ответ: с осью Oy: $(0, 9)$; с осью Ox: $(0.9, 0)$.

2) $p(x) = 4x^2 + x - 3$

Найдём точку пересечения с осью Oy, подставив $x=0$:
$y = p(0) = 4 \cdot 0^2 + 0 - 3 = -3$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, -3)$.

Найдём точки пересечения с осью Ox, приравняв $p(x)$ к нулю:
$4x^2 + x - 3 = 0$.
Это квадратное уравнение. Найдём его корни через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49$.
$x_{1} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 - 7}{8} = \frac{-8}{8} = -1$.
$x_{2} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 + 7}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.
Точки пересечения с осью Ox: $(-1, 0)$ и $(\frac{3}{4}, 0)$.

Ответ: с осью Oy: $(0, -3)$; с осью Ox: $(-1, 0)$ и $(\frac{3}{4}, 0)$.

3) $s(x) = \frac{x^2 - 2}{x^2 + 2}$

Найдём точку пересечения с осью Oy, подставив $x=0$:
$y = s(0) = \frac{0^2 - 2}{0^2 + 2} = \frac{-2}{2} = -1$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, -1)$.

Найдём точки пересечения с осью Ox, приравняв $s(x)$ к нулю:
$\frac{x^2 - 2}{x^2 + 2} = 0$.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
Знаменатель $x^2 + 2$ всегда положителен (так как $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 2 \ge 2$), поэтому он никогда не обращается в ноль.
Приравняем числитель к нулю:
$x^2 - 2 = 0$
$x^2 = 2$
$x = \pm\sqrt{2}$.
Точки пересечения с осью Ox: $(-\sqrt{2}, 0)$ и $(\sqrt{2}, 0)$.

Ответ: с осью Oy: $(0, -1)$; с осью Ox: $(-\sqrt{2}, 0)$ и $(\sqrt{2}, 0)$.