Номер 1.10, страница 12 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 1. Функция - номер 1.10, страница 12.

Условие.

1.10. Найдите область значений функции:

1) $f(x) = \sqrt{x - 1}$;

2) $f(x) = 5 - x^2$;

3) $f(x) = -7$;

4) $f(x) = |x + 2| + 2$;

5) $f(x) = \sqrt{-x^2}$;

6) $f(x) = \sqrt{x - 2} + \sqrt{2 - x}$.

Решение.

1) Область значений функции $f(x) = \sqrt{x} - 1$ определяется значениями, которые может принимать выражение $\sqrt{x}$.

По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{x} \ge 0$ для всех $x$ из области определения ($x \ge 0$).

Если мы вычтем 1 из обеих частей неравенства, получим:

$\sqrt{x} - 1 \ge 0 - 1$

$f(x) \ge -1$

Таким образом, область значений функции — все числа, большие или равные -1.

Ответ: $E(f) = [-1; +\infty)$.

2) Рассмотрим функцию $f(x) = 5 - x^2$.

Выражение $x^2$ принимает любые неотрицательные значения, то есть $x^2 \ge 0$.

Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$-x^2 \le 0$

Теперь прибавим 5 к обеим частям неравенства:

$5 - x^2 \le 5$

$f(x) \le 5$

Функция представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(0, 5)$. Максимальное значение функции равно 5. Таким образом, область значений — все числа, меньшие или равные 5.

Ответ: $E(f) = (-\infty; 5]$.

3) Функция $f(x) = -7$ является константой.

Для любого значения аргумента $x$ значение функции всегда будет равно -7.

Следовательно, область значений этой функции состоит из одного-единственного числа.

Ответ: $E(f) = \{-7\}$.

4) Рассмотрим функцию $f(x) = |x + 2| + 2$.

Модуль любого выражения всегда неотрицателен, то есть $|x + 2| \ge 0$.

Прибавим 2 к обеим частям этого неравенства:

$|x + 2| + 2 \ge 2$

$f(x) \ge 2$

Минимальное значение функции достигается при $x = -2$ и равно 2. Таким образом, область значений — все числа, большие или равные 2.

Ответ: $E(f) = [2; +\infty)$.

5) Для функции $f(x) = \sqrt{-x^2}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-x^2 \ge 0$.

Так как $x^2$ всегда больше или равно нулю ($x^2 \ge 0$), то $-x^2$ всегда меньше или равно нулю ($-x^2 \le 0$).

Единственное значение $x$, при котором выполняется условие $-x^2 \ge 0$, это $x=0$, так как только в этом случае $-x^2 = 0$.

Следовательно, область определения функции состоит из одной точки: $x=0$.

Найдем значение функции в этой точке: $f(0) = \sqrt{-0^2} = \sqrt{0} = 0$.

Таким образом, область значений функции состоит из одного числа.

Ответ: $E(f) = \{0\}$.

6) Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{x - 2} + \sqrt{2 - x}$.

Для того чтобы функция была определена, оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ 2 - x \ge 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x \ge 2$. Из второго — $x \le 2$.

Единственное число, удовлетворяющее обоим неравенствам одновременно, — это $x=2$.

Таким образом, область определения функции состоит из одной точки: $x=2$.

Найдем значение функции в этой точке: $f(2) = \sqrt{2 - 2} + \sqrt{2 - 2} = \sqrt{0} + \sqrt{0} = 0$.

Следовательно, область значений функции состоит из одного числа.

Ответ: $E(f) = \{0\}$.