Номер 1.16, страница 12 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 1. Функция - номер 1.16, страница 12.

Условие.

1.16. Даны функции $f(x) = \sqrt{x+1}$ и $g(x) = x^2 - 2x$. Задайте формулой функцию:

1) $y = g(-x)$;

2) $y = f(g(x))$;

3) $y = g(g(x)).$

Решение.

Даны функции $f(x) = \sqrt{x+1}$ и $g(x) = x^2 - 2x$.

1) $y = g(-x)$

Чтобы найти функцию $y = g(-x)$, необходимо в выражение для функции $g(x) = x^2 - 2x$ подставить $-x$ вместо каждого вхождения $x$.

$y = g(-x) = (-x)^2 - 2(-x)$

Выполним преобразования:

$y = x^2 + 2x$

Ответ: $y = x^2 + 2x$.

2) $y = f(g(x))$

Чтобы найти композицию функций $y = f(g(x))$, необходимо в выражение для функции $f(x) = \sqrt{x+1}$ подставить вместо аргумента $x$ выражение для функции $g(x) = x^2 - 2x$.

$y = f(g(x)) = \sqrt{g(x)+1} = \sqrt{(x^2 - 2x)+1}$

Выражение под корнем представляет собой полный квадрат разности:

$x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$

Таким образом, функция принимает вид:

$y = \sqrt{(x-1)^2}$

Используя свойство $\sqrt{a^2}=|a|$, получаем:

$y = |x-1|$

Ответ: $y = |x-1|$.

3) $y = g(g(x))$

Чтобы найти композицию функций $y = g(g(x))$, необходимо в выражение для функции $g(x) = x^2 - 2x$ подставить вместо аргумента $x$ само это выражение, то есть $x^2 - 2x$.

$y = g(g(x)) = (g(x))^2 - 2(g(x)) = (x^2 - 2x)^2 - 2(x^2 - 2x)$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение. Сначала возведем в квадрат:

$(x^2 - 2x)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 2x + (2x)^2 = x^4 - 4x^3 + 4x^2$

Затем раскроем вторые скобки:

$-2(x^2 - 2x) = -2x^2 + 4x$

Теперь сложим полученные части:

$y = (x^4 - 4x^3 + 4x^2) + (-2x^2 + 4x)$

Приведем подобные слагаемые:

$y = x^4 - 4x^3 + (4x^2 - 2x^2) + 4x = x^4 - 4x^3 + 2x^2 + 4x$

Ответ: $y = x^4 - 4x^3 + 2x^2 + 4x$.