Номер 1.23, страница 13 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 1. Функция - номер 1.23, страница 13.

Условие.

1.23. Найдите область определения функции:

1) $y = \frac{1}{\sqrt{3 - |x|}} + \frac{1}{x - 2}$

2) $y = \frac{1}{\sqrt{|x| - 1}} + \sqrt{x + 4}$

3) $y = \frac{1}{\sqrt{(x + 1)^2 (x + 3)}}$

4) $y = \sqrt{(x + 4)^2 (x - 3)}$

5) $y = \sqrt{|x + 5| (x + 2)}$

6) $y = \frac{1}{\sqrt{\text{sgn } x}}$

Решение.

1) $y = \frac{1}{\sqrt{3 - |x|}} + \frac{1}{x - 2}$
Область определения функции находится из системы условий:
1. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля: $3 - |x| > 0$.
2. Знаменатель второй дроби не должен быть равен нулю: $x - 2 \neq 0$.
Решим первое неравенство:
$3 - |x| > 0$
$|x| < 3$
$-3 < x < 3$
Решим второе условие:
$x \neq 2$
Объединяя эти условия, получаем область определения: все числа из интервала $(-3, 3)$, кроме $2$.
Ответ: $x \in (-3, 2) \cup (2, 3)$

2) $y = \frac{1}{\sqrt{|x| - 1}} + \sqrt{x + 4}$
Область определения функции находится из системы условий:
1. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля: $|x| - 1 > 0$.
2. Выражение под корнем во втором слагаемом должно быть неотрицательным: $x + 4 \ge 0$.
Решим первое неравенство:
$|x| - 1 > 0$
$|x| > 1$
$x > 1$ или $x < -1$. Это соответствует объединению интервалов $(-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.
Решим второе неравенство:
$x + 4 \ge 0$
$x \ge -4$
Теперь найдем пересечение полученных множеств: $((-\infty, -1) \cup (1, \infty)) \cap [-4, \infty)$.
Пересечение дает нам $[-4, -1) \cup (1, \infty)$.
Ответ: $x \in [-4, -1) \cup (1, \infty)$

3) $y = \frac{1}{\sqrt{(x + 1)^2 (x + 3)}}$
Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным:
$(x + 1)^2 (x + 3) > 0$
Множитель $(x + 1)^2$ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x = -1$ и положителен при $x \neq -1$.
Чтобы произведение было строго положительным, необходимо, чтобы $x \neq -1$. При этом условии $(x + 1)^2 > 0$, и неравенство можно упростить, разделив на $(x + 1)^2$:
$x + 3 > 0$
$x > -3$
Итак, мы имеем два условия: $x > -3$ и $x \neq -1$.
Ответ: $x \in (-3, -1) \cup (-1, \infty)$

4) $y = \sqrt{(x + 4)^2 (x - 3)}$
Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$(x + 4)^2 (x - 3) \ge 0$
Множитель $(x + 4)^2$ всегда неотрицателен. Рассмотрим два случая:
1. Если $(x + 4)^2 = 0$, то есть $x = -4$. Неравенство $0 \cdot (-7) \ge 0$ превращается в $0 \ge 0$, что является верным. Следовательно, $x = -4$ является решением.
2. Если $(x + 4)^2 > 0$, то есть $x \neq -4$. В этом случае можно разделить неравенство на положительное число $(x + 4)^2$ без изменения знака:
$x - 3 \ge 0$
$x \ge 3$
Объединяя оба случая, получаем область определения.
Ответ: $x \in \{-4\} \cup [3, \infty)$

5) $y = \sqrt{|x + 5|(x + 2)}$
Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$|x + 5|(x + 2) \ge 0$
Множитель $|x + 5|$ всегда неотрицателен. Рассмотрим два случая:
1. Если $|x + 5| = 0$, то есть $x = -5$. Неравенство $0 \cdot (-3) \ge 0$ превращается в $0 \ge 0$, что является верным. Следовательно, $x = -5$ является решением.
2. Если $|x + 5| > 0$, то есть $x \neq -5$. В этом случае можно разделить неравенство на положительное число $|x + 5|$ без изменения знака:
$x + 2 \ge 0$
$x \ge -2$
Объединяя оба случая, получаем область определения.
Ответ: $x \in \{-5\} \cup [-2, \infty)$

6) $y = \frac{1}{\sqrt{\operatorname{sgn} x}}$
Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным:
$\operatorname{sgn} x > 0$
Функция знака (сигнум) определяется как:
$\operatorname{sgn} x = \begin{cases} 1, & \text{если } x > 0 \\ 0, & \text{если } x = 0 \\ -1, & \text{если } x < 0 \end{cases}$
Условие $\operatorname{sgn} x > 0$ выполняется только в одном случае: когда $\operatorname{sgn} x = 1$. Это происходит, когда $x > 0$.
Если $x=0$, то $\operatorname{sgn} x = 0$, а на ноль делить нельзя. Если $x < 0$, то $\operatorname{sgn} x = -1$, а корень из отрицательного числа не определен в действительных числах.
Ответ: $x \in (0, \infty)$