Номер 1.21, страница 13 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 1. Функция - номер 1.21, страница 13.

Условие.

1.21. Функция $g$ задана описательно: каждому целому числу поставлен в соответствие остаток от деления этого числа на 4. Найдите $g(3)$, $g(0)$, $g(-21)$, $g(32)$. Найдите $E(g)$. Докажите, что $g(x) = g(x + 4)$ для любого $x \in Z$.

Решение.

Найдите g(3), g(0), g(-21), g(32)
Функция $g(x)$ по определению равна остатку от деления целого числа $x$ на 4. Остаток от деления $a$ на $b$ есть такое число $r$, что $a = b \cdot q + r$ и $0 \le r < |b|$, где $q$ - неполное частное. В нашем случае $b = 4$.
1. Для $g(3)$: разделим 3 на 4. Получаем $3 = 4 \cdot 0 + 3$. Остаток равен 3. Таким образом, $g(3) = 3$.
2. Для $g(0)$: разделим 0 на 4. Получаем $0 = 4 \cdot 0 + 0$. Остаток равен 0. Таким образом, $g(0) = 0$.
3. Для $g(-21)$: разделим -21 на 4. Нам нужно найти такое целое $q$, чтобы $-21 = 4 \cdot q + r$, где $0 \le r < 4$. Если мы возьмем $q = -5$, то получим $-21 = 4 \cdot (-5) - 1$, остаток $-1$ не удовлетворяет условию. Возьмем $q = -6$. Тогда $-21 = 4 \cdot (-6) + 3$. Остаток равен 3, что удовлетворяет условию $0 \le 3 < 4$. Таким образом, $g(-21) = 3$.
4. Для $g(32)$: разделим 32 на 4. Получаем $32 = 4 \cdot 8 + 0$. Остаток равен 0. Таким образом, $g(32) = 0$.
Ответ: $g(3) = 3$, $g(0) = 0$, $g(-21) = 3$, $g(32) = 0$.

Найдите E(g)
$E(g)$ — это множество значений функции $g(x)$. По определению, $g(x)$ есть остаток от деления целого числа $x$ на 4. При делении любого целого числа на 4 возможны только следующие остатки: 0, 1, 2, 3. Все эти значения достигаются функцией, например:
$g(0) = 0$
$g(1) = 1$
$g(2) = 2$
$g(3) = 3$
Следовательно, множество значений функции состоит из этих четырех чисел.
Ответ: $E(g) = \{0, 1, 2, 3\}$.

Докажите, что g(x) = g(x + 4) для любого x ∈ Z
Пусть $x$ — произвольное целое число ($x \in \mathbb{Z}$). По определению деления с остатком, существуют единственные целые числа $q$ (неполное частное) и $r$ (остаток) такие, что выполняется равенство $x = 4q + r$, где $0 \le r < 4$.
По определению функции $g$, значение $g(x)$ равно этому остатку $r$, то есть $g(x) = r$.
Теперь рассмотрим выражение $x + 4$. Подставим в него представление $x$ через $q$ и $r$:
$x + 4 = (4q + r) + 4$
Сгруппируем слагаемые:
$x + 4 = 4q + 4 + r = 4(q + 1) + r$
Обозначим $q' = q + 1$. Так как $q$ является целым числом, то и $q'$ является целым числом. Мы получили представление числа $x + 4$ в виде $x + 4 = 4q' + r$. Это представление соответствует определению деления с остатком, так как остаток $r$ удовлетворяет условию $0 \le r < 4$.
Таким образом, остаток от деления числа $x + 4$ на 4 также равен $r$. По определению функции $g$, это означает, что $g(x + 4) = r$.
Поскольку $g(x) = r$ и $g(x + 4) = r$, мы можем заключить, что $g(x) = g(x + 4)$ для любого целого $x$, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.