Номер 1.22, страница 13 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 1. Функция - номер 1.22, страница 13.

Условие.

1.22. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{4 - |x|} + \frac{1}{x + 2};$

2) $y = \sqrt{|x| - 3} + \frac{1}{\sqrt{x + 1}};$

3) $y = \sqrt{(x - 1)^2 (x - 2)};$

4) $y = \sqrt{|x + 1| (x - 3)};$

5) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 (x + 2)}};$

6) $y = \sqrt{\text{sgn } x}.$

Решение.

1)

Область определения функции $y = \sqrt{4 - |x|} + \frac{1}{x+2}$ находится из двух условий:
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $4 - |x| \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x + 2 \neq 0$.

Решим систему неравенств:
$\begin{cases} 4 - |x| \ge 0 \\ x + 2 \neq 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем:
$|x| \le 4$, что равносильно $-4 \le x \le 4$. То есть $x \in [-4, 4]$.

Из второго условия получаем:
$x \neq -2$.

Объединяя эти два условия, мы должны исключить точку $x = -2$ из отрезка $[-4, 4]$.
Таким образом, область определения функции: $x \in [-4, -2) \cup (-2, 4]$.
Ответ: $D(y) = [-4, -2) \cup (-2, 4]$.

2)

Область определения функции $y = \sqrt{|x| - 3} + \frac{1}{\sqrt{x+1}}$ находится из двух условий:
1. Выражение под первым корнем должно быть неотрицательным: $|x| - 3 \ge 0$.
2. Выражение под вторым корнем (в знаменателе) должно быть строго положительным: $x + 1 > 0$.

Решим систему неравенств:
$\begin{cases} |x| - 3 \ge 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем:
$|x| \ge 3$, что равносильно совокупности $x \ge 3$ или $x \le -3$. То есть $x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.

Из второго неравенства получаем:
$x > -1$. То есть $x \in (-1, \infty)$.

Теперь найдем пересечение полученных множеств: $((-\infty, -3] \cup [3, \infty)) \cap (-1, \infty)$.
Пересечение дает нам промежуток $[3, \infty)$.
Ответ: $D(y) = [3, \infty)$.

3)

Область определения функции $y = \sqrt{(x-1)^2(x-2)}$ определяется условием неотрицательности подкоренного выражения:
$(x-1)^2(x-2) \ge 0$.

Множитель $(x-1)^2$ всегда неотрицателен, т.е. $(x-1)^2 \ge 0$ для любого $x$.

Рассмотрим два случая:
1. $(x-1)^2 = 0$, то есть $x = 1$. При этом значении неравенство выполняется: $0 \cdot (1-2) = 0 \ge 0$. Значит, $x=1$ входит в область определения.
2. $(x-1)^2 > 0$, то есть $x \neq 1$. В этом случае можно разделить обе части неравенства на положительное число $(x-1)^2$, не меняя знака неравенства:
$x-2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$.

Объединяя оба случая, получаем область определения: $\{1\} \cup [2, \infty)$.
Ответ: $D(y) = \{1\} \cup [2, \infty)$.

4)

Область определения функции $y = \sqrt{|x+1|(x-3)}$ определяется условием неотрицательности подкоренного выражения:
$|x+1|(x-3) \ge 0$.

Множитель $|x+1|$ всегда неотрицателен, т.е. $|x+1| \ge 0$ для любого $x$.

Рассмотрим два случая:
1. $|x+1| = 0$, то есть $x = -1$. При этом значении неравенство выполняется: $0 \cdot (-1-3) = 0 \ge 0$. Значит, $x=-1$ входит в область определения.
2. $|x+1| > 0$, то есть $x \neq -1$. В этом случае можно разделить обе части неравенства на положительное число $|x+1|$, не меняя знака неравенства:
$x-3 \ge 0$, откуда $x \ge 3$.

Объединяя оба случая, получаем область определения: $\{-1\} \cup [3, \infty)$.
Ответ: $D(y) = \{-1\} \cup [3, \infty)$.

5)

Область определения функции $y = \frac{1}{\sqrt{x^2(x+2)}}$ определяется условием, что выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным:
$x^2(x+2) > 0$.

Произведение двух множителей положительно, когда оба множителя положительны (так как $x^2$ не может быть отрицательным).
1. $x^2 > 0$. Это неравенство выполняется для всех $x$, кроме $x=0$.
2. $x+2 > 0$, откуда $x > -2$.

Мы должны удовлетворить обоим условиям одновременно. То есть, нам нужны все $x$, которые больше $-2$ и не равны $0$.
Это соответствует объединению интервалов: $(-2, 0) \cup (0, \infty)$.
Ответ: $D(y) = (-2, 0) \cup (0, \infty)$.

6)

Область определения функции $y = \sqrt{\text{sgn } x}$ определяется условием неотрицательности подкоренного выражения:
$\text{sgn } x \ge 0$.

Функция "сигнум" (знак числа) определяется следующим образом:
$\text{sgn } x = \begin{cases} 1, & \text{если } x > 0 \\ 0, & \text{если } x = 0 \\ -1, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Неравенство $\text{sgn } x \ge 0$ выполняется в тех случаях, когда $\text{sgn } x = 1$ или $\text{sgn } x = 0$.
Из определения функции следует, что это происходит при $x > 0$ и $x = 0$.
Объединяя эти условия, получаем $x \ge 0$.
Ответ: $D(y) = [0, \infty)$.