Номер 1.19, страница 13 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 1. Функция - номер 1.19, страница 13.

Условие.

1.19. Найдите область определения функции и постройте её график:

1) $f(x) = \frac{x^2 + 4x + 4}{x + 2}$;

2) $f(x) = \frac{x^3}{x}$.

Решение.

1) $f(x) = \frac{x^2 + 4x + 4}{x + 2}$

Нахождение области определения:
Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Поскольку функция представляет собой дробь, ее знаменатель не может быть равен нулю.

Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль: $x + 2 = 0$ $x = -2$

Таким образом, функция не определена в точке $x = -2$. Область определения функции — все действительные числа, кроме $-2$. $D(f): x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

Построение графика:
Упростим выражение для функции. Числитель $x^2 + 4x + 4$ является полным квадратом суммы $(x+2)^2$.

$f(x) = \frac{(x+2)^2}{x+2}$

Для всех $x$ из области определения ($x \neq -2$), мы можем сократить дробь: $f(x) = x + 2$

График данной функции совпадает с графиком линейной функции $y = x + 2$, за исключением точки, в которой $x = -2$. Графиком функции $y = x + 2$ является прямая линия. В точке, где $x = -2$, на графике будет разрыв, который изображается в виде "выколотой" точки.

Найдем координаты этой выколотой точки. Абсцисса точки $x = -2$. Ординату найдем, подставив это значение в упрощенное выражение $y = x + 2$: $y = -2 + 2 = 0$

Следовательно, график функции — это прямая $y = x + 2$ с выколотой точкой $(-2, 0)$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$. График функции — прямая $y=x+2$ с выколотой точкой $(-2, 0)$.

2) $f(x) = \frac{x^3}{x}$

Нахождение области определения:
Знаменатель дроби не может быть равен нулю.

$x \neq 0$

Область определения функции — все действительные числа, кроме $0$. $D(f): x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Построение графика:
Упростим выражение для функции. Для всех $x$ из области определения ($x \neq 0$), мы можем сократить дробь:

$f(x) = \frac{x^3}{x} = x^2$

График данной функции совпадает с графиком квадратичной функции $y = x^2$ (парабола с вершиной в начале координат и ветвями вверх), за исключением точки, где $x = 0$. В этой точке на графике будет выколотая точка.

Найдем координаты этой выколотой точки. Абсцисса точки $x = 0$. Ординату найдем, подставив это значение в упрощенное выражение $y = x^2$: $y = 0^2 = 0$

Следовательно, график функции — это парабола $y = x^2$ с выколотой точкой в ее вершине $(0, 0)$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. График функции — парабола $y=x^2$ с выколотой точкой в начале координат $(0, 0)$.