Номер 1.25, страница 13 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 1. Функция - номер 1.25, страница 13.

Условие.

1.25. Найдите область значений функции:

1) $y = 5x^2 - x + 1;$

2) $y = \frac{2x-1}{5x+4};$

3) $y = 4x + \frac{1}{x}.$

Решение.

1) $y = 5x^2 - x + 1$

Данная функция является квадратичной функцией вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a=5$, $b=-1$, $c=1$. Графиком этой функции является парабола.

Поскольку коэффициент при старшем члене $a=5 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет наименьшее значение в вершине параболы, и область значений будет от этого наименьшего значения до $+\infty$.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$. Абсцисса вершины вычисляется по формуле:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot 5} = \frac{1}{10}$

Теперь найдем ординату вершины, подставив значение $x_0$ в уравнение функции:

$y_0 = 5 \left(\frac{1}{10}\right)^2 - \frac{1}{10} + 1 = 5 \cdot \frac{1}{100} - \frac{10}{100} + \frac{100}{100} = \frac{5 - 10 + 100}{100} = \frac{95}{100} = \frac{19}{20}$

Таким образом, наименьшее значение функции равно $\frac{19}{20}$.

Область значений функции — это все значения $y$, которые больше или равны наименьшему значению.

Ответ: $E(y) = [\frac{19}{20}; +\infty)$.

2) $y = \frac{2x-1}{5x+4}$

Данная функция является дробно-линейной. Чтобы найти область ее значений, выразим переменную $x$ через $y$.

Область определения функции: $5x+4 \neq 0$, то есть $x \neq -\frac{4}{5}$.

Выразим $x$ из уравнения:

$y(5x+4) = 2x - 1$

$5xy + 4y = 2x - 1$

Сгруппируем члены, содержащие $x$:

$5xy - 2x = -4y - 1$

$x(5y - 2) = -4y - 1$

Если $5y-2 \neq 0$, то:

$x = \frac{-4y-1}{5y-2}$

Это выражение имеет смысл для любых значений $y$, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль.

$5y - 2 = 0 \implies 5y = 2 \implies y = \frac{2}{5}$

Таким образом, $y$ может принимать любые действительные значения, кроме $\frac{2}{5}$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; \frac{2}{5}) \cup (\frac{2}{5}; +\infty)$.

3) $y = 4x + \frac{1}{x}$

Область определения функции: $x \neq 0$.

Чтобы найти область значений, рассмотрим данное уравнение как уравнение относительно $x$ при заданном значении $y$.

Домножим обе части уравнения на $x$ (так как $x \neq 0$):

$yx = 4x^2 + 1$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x$:

$4x^2 - yx + 1 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $x$ будет иметь действительные решения только в том случае, если его дискриминант $D$ неотрицателен ($D \ge 0$).

Найдем дискриминант:

$D = (-y)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = y^2 - 16$

Условие $D \ge 0$ дает нам неравенство:

$y^2 - 16 \ge 0$

Разложим левую часть на множители:

$(y-4)(y+4) \ge 0$

Решением этого неравенства является объединение промежутков $y \le -4$ и $y \ge 4$.

Следовательно, область значений функции состоит из двух интервалов.

Ответ: $E(y) = (-\infty; -4] \cup [4; +\infty)$.