Номер 1.28, страница 14 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 1. Функция - номер 1.28, страница 14.

Условие.

1.28. Известно, что $D(g) = [-9; 1]$. Найдите область определения функции:

1) $y=g(x+1);$

2) $y=g(\frac{1}{3}x);$

3) $y=g(x^2);$

4) $y=g(|x|);$

5) $y=g(\sqrt{x});$

6) $y=g(\frac{1}{x}).$

Решение.

Поскольку область определения функции $g$ есть отрезок $D(g) = [-9; 1]$, для нахождения области определения функции вида $y = g(h(x))$ необходимо найти все значения $x$, при которых, во-первых, определена сама внутренняя функция $h(x)$, и, во-вторых, значения функции $h(x)$ принадлежат отрезку $[-9; 1]$. То есть, нужно найти множество решений $x$ для двойного неравенства $-9 \le h(x) \le 1$, учитывая область определения $h(x)$.

1)

Для функции $y=g(x+1)$, аргументом является выражение $h(x) = x+1$. Чтобы функция $y$ была определена, ее аргумент должен принадлежать области определения функции $g$.

Следовательно, должно выполняться двойное неравенство:

$-9 \le x + 1 \le 1$

Вычтем 1 из всех частей неравенства, чтобы найти $x$:

$-9 - 1 \le x \le 1 - 1$

$-10 \le x \le 0$

Область определения функции $y=g(x+1)$ есть отрезок $[-10; 0]$.

Ответ: $D(y) = [-10; 0]$.

2)

Для функции $y=g(\frac{1}{3}x)$, аргументом является выражение $h(x) = \frac{1}{3}x$. Аргумент должен принадлежать области определения функции $g$.

Составляем неравенство:

$-9 \le \frac{1}{3}x \le 1$

Умножим все части неравенства на 3:

$-9 \cdot 3 \le x \le 1 \cdot 3$

$-27 \le x \le 3$

Область определения функции $y=g(\frac{1}{3}x)$ есть отрезок $[-27; 3]$.

Ответ: $D(y) = [-27; 3]$.

3)

Для функции $y=g(x^2)$, аргументом является $h(x) = x^2$.

Значение $x^2$ должно находиться в пределах области определения функции $g$:

$-9 \le x^2 \le 1$

Это двойное неравенство эквивалентно системе двух неравенств:

$\begin{cases} x^2 \ge -9 \\ x^2 \le 1 \end{cases}$

Первое неравенство, $x^2 \ge -9$, выполняется для любого действительного числа $x$, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.

Второе неравенство, $x^2 \le 1$, можно переписать как $x^2 - 1 \le 0$, или $(x-1)(x+1) \le 0$. Решением этого неравенства является отрезок $[-1; 1]$.

Таким образом, область определения функции $y=g(x^2)$ есть отрезок $[-1; 1]$.

Ответ: $D(y) = [-1; 1]$.

4)

Для функции $y=g(|x|)$, аргументом является $h(x) = |x|$.

Значение $|x|$ должно находиться в пределах области определения функции $g$:

$-9 \le |x| \le 1$

Рассмотрим эту систему неравенств:

$\begin{cases} |x| \ge -9 \\ |x| \le 1 \end{cases}$

Первое неравенство, $|x| \ge -9$, выполняется для любого действительного числа $x$, так как модуль числа всегда неотрицателен.

Второе неравенство, $|x| \le 1$, эквивалентно двойному неравенству $-1 \le x \le 1$.

Следовательно, область определения функции $y=g(|x|)$ есть отрезок $[-1; 1]$.

Ответ: $D(y) = [-1; 1]$.

5)

Для функции $y=g(\sqrt{x})$, аргументом является $h(x) = \sqrt{x}$.

Во-первых, сама внутренняя функция $\sqrt{x}$ определена только при $x \ge 0$.

Во-вторых, значение $\sqrt{x}$ должно принадлежать области определения функции $g$:

$-9 \le \sqrt{x} \le 1$

Это двойное неравенство можно разбить на два:

$\begin{cases} \sqrt{x} \ge -9 \\ \sqrt{x} \le 1 \end{cases}$

Первое неравенство, $\sqrt{x} \ge -9$, выполняется для всех $x$ из области определения корня (т.е. для $x \ge 0$), так как арифметический квадратный корень всегда неотрицателен.

Для второго неравенства, $\sqrt{x} \le 1$, возведем обе части в квадрат (это возможно, так как обе части неотрицательны):

$x \le 1^2 \implies x \le 1$

Теперь объединим все условия для $x$: $x \ge 0$ и $x \le 1$. Это дает нам $0 \le x \le 1$.

Область определения функции $y=g(\sqrt{x})$ есть отрезок $[0; 1]$.

Ответ: $D(y) = [0; 1]$.

6)

Для функции $y=g(\frac{1}{x})$, аргументом является $h(x) = \frac{1}{x}$.

Во-первых, область определения внутренней функции $h(x) = \frac{1}{x}$ есть все действительные числа, кроме $x=0$.

Во-вторых, значение $\frac{1}{x}$ должно принадлежать области определения функции $g$:

$-9 \le \frac{1}{x} \le 1$

Это двойное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} \frac{1}{x} \ge -9 \\ \frac{1}{x} \le 1 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $\frac{1}{x} + 9 \ge 0 \implies \frac{1+9x}{x} \ge 0$. Методом интервалов находим, что это неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -1/9] \cup (0; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $\frac{1}{x} - 1 \le 0 \implies \frac{1-x}{x} \le 0$. Методом интервалов находим, что это неравенство выполняется при $x \in (-\infty; 0) \cup [1; +\infty)$.

Область определения исходной функции является пересечением решений этих двух неравенств (а также условия $x \ne 0$, которое уже учтено в решениях).

Пересечение множеств $(-\infty; -1/9] \cup (0; +\infty)$ и $(-\infty; 0) \cup [1; +\infty)$ есть $(-\infty; -1/9] \cup [1; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -1/9] \cup [1; +\infty)$.