Номер 1.33, страница 14 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 1. Функция - номер 1.33, страница 14.

Условие.

1.33. Постройте график функции:

1) $y = [\{x\}];$

2) $y = \sqrt{\{x\}(\{x\}-1)}.$

Решение.

1)

Рассмотрим функцию $y = [\{x\}]$.

Здесь $\{x\}$ обозначает дробную часть числа $x$, а $[z]$ — целую часть числа $z$ (функция "пол" или "антье").

По определению, дробная часть любого действительного числа $x$ всегда удовлетворяет неравенству $0 \le \{x\} < 1$.

Функция $y = [\{x\}]$ вычисляет целую часть от дробной части числа $x$. Поскольку значение $\{x\}$ всегда находится в полуинтервале $[0, 1)$, то наибольшее целое число, которое не превосходит $\{x\}$, всегда равно 0.

Рассмотрим два случая:

1. Если $x$ — целое число (например, $x=5$), то $\{x\} = 0$. Тогда $y = [0] = 0$.

2. Если $x$ — нецелое число (например, $x=5.4$), то $0 < \{x\} < 1$. В нашем примере $\{5.4\} = 0.4$. Тогда $y = [0.4] = 0$.

Таким образом, для любого действительного числа $x$ значение функции $y$ равно 0. Графиком этой функции является прямая линия, которая совпадает с осью абсцисс (осью Ox).

Ответ: График функции $y = [\{x\}]$ — это прямая $y=0$ (ось Ox).

2)

Рассмотрим функцию $y = \sqrt{\{x\}(\{x\} - 1)}$.

Область определения функции задается условием, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$\{x\}(\{x\} - 1) \ge 0$.

Введем замену $t = \{x\}$. Неравенство примет вид:

$t(t-1) \ge 0$.

Решениями этого квадратичного неравенства являются $t \le 0$ или $t \ge 1$.

Теперь вернемся к исходной переменной. Мы знаем, что по определению дробной части $0 \le \{x\} < 1$. Сопоставим это свойство с найденными решениями:

1. Условие $\{x\} \le 0$ вместе с $0 \le \{x\}$ дает единственное возможное значение: $\{x\} = 0$.

2. Условие $\{x\} \ge 1$ не может быть выполнено, так как по определению $\{x\} < 1$.

Следовательно, функция определена только в тех точках, где $\{x\} = 0$. Дробная часть числа равна нулю тогда и только тогда, когда это число целое. Таким образом, область определения функции — это множество всех целых чисел, $x \in \mathbb{Z}$.

Найдем значение функции в этих точках. Если $x$ — целое число, то $\{x\} = 0$, и мы получаем:

$y = \sqrt{0 \cdot (0 - 1)} = \sqrt{0} = 0$.

Таким образом, график функции состоит из набора изолированных точек, которые лежат на оси Ox и имеют целые абсциссы.

Ответ: График функции $y = \sqrt{\{x\}(\{x\} - 1)}$ — это множество точек с координатами $(n, 0)$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).