Номер 1.39, страница 14 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 1. Функция - номер 1.39, страница 14.

Условие.

1.39. Каждому действительному числу поставим в соответствие расстояние до ближайшего к нему на координатной прямой целого числа. Является ли описанная зависимость функциональной?

Решение.

Чтобы определить, является ли указанная зависимость функциональной, необходимо проверить, выполняется ли определение функции. Зависимость является функциональной, если каждому элементу из области определения (аргументу) соответствует ровно один элемент из области значений (значение функции).

В данном случае область определения — это множество всех действительных чисел ($x \in \mathbb{R}$). Правило сопоставления заключается в нахождении расстояния от действительного числа $x$ до ближайшего к нему целого числа.

Рассмотрим произвольное действительное число $x$. Проанализируем, сколько значений расстояния ему может соответствовать.

Возможны два случая:

1. Число $x$ не находится ровно посередине между двумя последовательными целыми числами. Например, $x = 2.7$. Ближайшее к нему целое число — это $3$. Расстояние до него единственно и равно $|2.7 - 3| = 0.3$. Другой пример: $x = -4.1$. Ближайшее целое — это $-4$. Расстояние равно $|-4.1 - (-4)| = |-0.1| = 0.1$. В этом случае каждому $x$ соответствует одно-единственное ближайшее целое число, а значит, и одно-единственное значение расстояния.

2. Число $x$ находится ровно посередине между двумя последовательными целыми числами, то есть имеет вид $x = n + 0.5$, где $n$ — целое число. Например, $x = 5.5$. В этом случае существуют два ближайших целых числа: $5$ и $6$.

   • Расстояние от $5.5$ до $5$ равно $|5.5 - 5| = 0.5$.
   • Расстояние от $5.5$ до $6$ равно $|5.5 - 6| = |-0.5| = 0.5$.

   Хотя ближайших целых чисел два, расстояние до каждого из них одинаково. Таким образом, числу $5.5$ сопоставляется единственное значение расстояния — $0.5$.

В обоих случаях мы видим, что для любого действительного числа $x$ существует только одно значение, представляющее собой расстояние до ближайшего целого числа. Это расстояние можно вычислить по формуле $f(x) = \min_{n \in \mathbb{Z}} |x - n|$.

Поскольку каждому действительному числу $x$ ставится в соответствие единственное значение расстояния, данная зависимость является функциональной.

Ответ: Да, описанная зависимость является функциональной.