Номер 1.43, страница 15 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 1. Функция - номер 1.43, страница 15.

Условие.

1.43. Найдите функцию $f$ такую, что $D(f) = \mathbb{R}$ и для любого $x \in \mathbb{R}$ выполняется равенство $f(x) + 2f(-x) = x + 1$.

Решение.

Дано функциональное уравнение $f(x) + 2f(-x) = x + 1$, которое выполняется для любого $x \in \mathbb{R}$.

Поскольку равенство верно для любого действительного числа $x$, оно будет верно и при замене $x$ на $-x$. Произведем эту замену в исходном уравнении:

$f(-x) + 2f(-(-x)) = (-x) + 1$

Упрощая, получаем второе уравнение:

$2f(x) + f(-x) = -x + 1$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений относительно неизвестных $f(x)$ и $f(-x)$:

$ \begin{cases} f(x) + 2f(-x) = x + 1 & (1) \\ 2f(x) + f(-x) = -x + 1 & (2) \end{cases} $

Для решения системы умножим уравнение (2) на 2, чтобы при вычитании уравнений исключить $f(-x)$:

$2 \cdot (2f(x) + f(-x)) = 2 \cdot (-x + 1)$

$4f(x) + 2f(-x) = -2x + 2$

Теперь вычтем уравнение (1) из полученного уравнения:

$(4f(x) + 2f(-x)) - (f(x) + 2f(-x)) = (-2x + 2) - (x + 1)$

$4f(x) - f(x) = -2x + 2 - x - 1$

$3f(x) = -3x + 1$

Отсюда находим искомую функцию $f(x)$:

$f(x) = \frac{-3x + 1}{3} = -x + \frac{1}{3}$

Проверим, удовлетворяет ли найденная функция исходному условию. Область определения функции $D(f) = \mathbb{R}$, что соответствует условию задачи. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = -(-x) + \frac{1}{3} = x + \frac{1}{3}$

Подставим $f(x)$ и $f(-x)$ в левую часть исходного уравнения:

$f(x) + 2f(-x) = (-x + \frac{1}{3}) + 2(x + \frac{1}{3}) = -x + \frac{1}{3} + 2x + \frac{2}{3} = x + 1$

Полученное выражение $x+1$ совпадает с правой частью исходного уравнения, следовательно, функция найдена верно.

Ответ: $f(x) = -x + \frac{1}{3}$