Номер 1.42, страница 14 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 1. Функция - номер 1.42, страница 14.

Условие.

1.42. Дана функция $f(x) = \frac{1}{1-x}$. Постройте график функции $y = f(f(f(x)))$.

Решение.

Для построения графика функции $y = f(f(f(x)))$ необходимо сначала найти аналитическое выражение для этой сложной функции, а затем определить её область определения.

Исходная функция задана формулой $f(x) = \frac{1}{1-x}$.

1. Нахождение $f(f(x))$
Подставим выражение для $f(x)$ в качестве аргумента в саму функцию $f$:
$f(f(x)) = f\left(\frac{1}{1-x}\right) = \frac{1}{1 - \frac{1}{1-x}}$
Упростим полученное выражение, приведя знаменатель к общему знаменателю:
$f(f(x)) = \frac{1}{\frac{(1-x)-1}{1-x}} = \frac{1}{\frac{-x}{1-x}} = \frac{1-x}{-x} = \frac{x-1}{x}$.

2. Нахождение $y = f(f(f(x)))$
Теперь подставим найденное выражение для $f(f(x))$ в качестве аргумента в функцию $f$:
$y = f(f(f(x))) = f\left(\frac{x-1}{x}\right) = \frac{1}{1 - \frac{x-1}{x}}$
Снова упростим выражение:
$y = \frac{1}{\frac{x - (x-1)}{x}} = \frac{1}{\frac{x-x+1}{x}} = \frac{1}{\frac{1}{x}} = x$.

3. Определение области определения
Несмотря на то, что итоговая функция имеет вид $y=x$, ее область определения может быть ограничена. Ограничения возникают на каждом шаге вычисления композиции функций.
1) Для существования $f(x)$, знаменатель $1-x$ не должен быть равен нулю. Отсюда $x \neq 1$.
2) Для существования $f(f(x))$, значение $f(x)$ должно принадлежать области определения функции $f$. То есть, $f(x) \neq 1$. Найдем, при каком $x$ это условие нарушается:
$\frac{1}{1-x} = 1 \implies 1 = 1-x \implies x=0$.
Следовательно, необходимо исключить $x=0$.
3) Для существования $f(f(f(x)))$, значение $f(f(x))$ должно принадлежать области определения функции $f$. То есть, $f(f(x)) \neq 1$.
$\frac{x-1}{x} = 1 \implies x-1 = x \implies -1 = 0$.
Это равенство неверно ни при каком $x$, поэтому на этом шаге новых ограничений не возникает.
Таким образом, область определения функции $y=f(f(f(x)))$ есть множество всех действительных чисел, кроме $x=0$ и $x=1$.

4. Построение графика
График функции $y=x$ — это прямая, являющаяся биссектрисой I и III координатных четвертей.
Из-за ограничений области определения на этом графике должны быть две "выколотые" точки:
- при $x=0$, $y=0$, т.е. точка $(0, 0)$;
- при $x=1$, $y=1$, т.е. точка $(1, 1)$.

Ответ: Графиком функции $y=f(f(f(x)))$ является прямая $y=x$ с двумя выколотыми точками: $(0, 0)$ и $(1, 1)$.