Номер 1.45, страница 15 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 1. Функция - номер 1.45, страница 15.

Условие.

1.45. Найдите функцию $f$ такую, что $D(f) = \mathbb{R}$ и для любого $x \in \mathbb{R}$ выполняется равенство $2f(x) - f(1-x) = x+3$.

Решение.

Дано функциональное уравнение $2f(x) - f(1-x) = x + 3$, которое по условию выполняется для любого действительного числа $x$. Область определения функции $f$ также является множеством всех действительных чисел ($D(f) = \mathbb{R}$).

Чтобы найти вид функции $f(x)$, воспользуемся методом подстановки. В исходном уравнении заменим переменную $x$ на $1-x$. Поскольку исходное равенство верно для любого $x \in \mathbb{R}$, оно будет верно и для $1-x$.

Исходное уравнение:

$2f(x) - f(1-x) = x + 3$ (1)

Производим замену $x \rightarrow 1-x$:

$2f(1-x) - f(1-(1-x)) = (1-x) + 3$

Упрощаем полученное выражение:

$2f(1-x) - f(x) = 4 - x$ (2)

Теперь мы имеем систему из двух линейных уравнений относительно $f(x)$ и $f(1-x)$:

$\begin{cases} 2f(x) - f(1-x) = x + 3 \\ -f(x) + 2f(1-x) = 4 - x \end{cases}$

Решим эту систему, чтобы найти $f(x)$. Для этого можно исключить $f(1-x)$. Умножим первое уравнение на 2:

$4f(x) - 2f(1-x) = 2(x + 3)$

$4f(x) - 2f(1-x) = 2x + 6$

Теперь сложим это уравнение со вторым уравнением системы:

$(4f(x) - 2f(1-x)) + (-f(x) + 2f(1-x)) = (2x + 6) + (4 - x)$

Сокращая подобные члены, получаем:

$3f(x) = x + 10$

Отсюда находим явный вид функции $f(x)$:

$f(x) = \frac{x + 10}{3}$

Проверим, что найденная функция удовлетворяет исходному уравнению. Подставим $f(x) = \frac{x + 10}{3}$ в левую часть равенства $2f(x) - f(1-x) = x + 3$:

$2\left(\frac{x + 10}{3}\right) - \left(\frac{(1-x) + 10}{3}\right) = \frac{2x + 20}{3} - \frac{11 - x}{3} = \frac{2x + 20 - 11 + x}{3} = \frac{3x + 9}{3} = \frac{3(x+3)}{3} = x + 3$

Левая часть равна правой ($x+3 = x+3$), значит, найденная функция является решением.

Ответ: $f(x) = \frac{x+10}{3}$