Номер 1.40, страница 14 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 1. Функция - номер 1.40, страница 14.

Условие.

1.40. Найдите функцию $f$ такую, что $D(f) = \mathbb{R}$ и для любого $x \in \mathbb{R}$ выполняется равенство $f(3x - 1) = x + 2$.

Решение.

Нам дано функциональное уравнение $f(3x - 1) = x + 2$, которое должно выполняться для любого $x \in \mathbb{R}$. Наша задача — найти явный вид функции $f$.

Для этого сделаем замену переменной. Пусть $t = 3x - 1$. Это выражение является аргументом функции $f$.

Теперь нам нужно выразить $x$ через $t$, чтобы подставить его в правую часть исходного уравнения.

Из равенства $t = 3x - 1$ получаем:

$t + 1 = 3x$

$x = \frac{t + 1}{3}$

Теперь подставим это выражение для $x$ в правую часть исходного уравнения $x + 2$:

$x + 2 = \left(\frac{t + 1}{3}\right) + 2$

Приведем выражение к общему знаменателю:

$x + 2 = \frac{t + 1}{3} + \frac{6}{3} = \frac{t + 1 + 6}{3} = \frac{t + 7}{3}$

Поскольку $f(3x - 1) = f(t)$ и $x+2 = \frac{t+7}{3}$, мы можем записать:

$f(t) = \frac{t + 7}{3}$

Имя переменной не имеет значения, поэтому мы можем записать функцию, используя стандартное обозначение $x$:

$f(x) = \frac{x + 7}{3}$

Область определения этой функции $D(f)$ — все действительные числа ($\mathbb{R}$), так как знаменатель не равен нулю ни при каком $x$. Это соответствует условию задачи.

Проверим, выполняется ли исходное равенство:

$f(3x - 1) = \frac{(3x - 1) + 7}{3} = \frac{3x + 6}{3} = \frac{3(x + 2)}{3} = x + 2$

Равенство выполняется, значит, функция найдена верно.

Ответ: $f(x) = \frac{x + 7}{3}$