Номер 1.34, страница 14 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 1. Функция - номер 1.34, страница 14.

Условие.

1.34. Постройте график функции:

1) $y = \operatorname{sgn}(x + 1)$;

2) $y = \operatorname{sgn}(1 - x^2)$.

Решение.

Для построения графиков данных функций необходимо вспомнить определение функции "сигнум" (знак числа).

Функция $y = \operatorname{sgn}(z)$ определяется следующим образом:

$y = \begin{cases} 1, & \text{если } z > 0 \\ 0, & \text{если } z = 0 \\ -1, & \text{если } z < 0 \end{cases}$

Мы будем применять это определение к аргументам функций в каждом подпункте.

1) $y = \operatorname{sgn}(x + 1)$

В данном случае аргумент функции сигнум равен $z = x + 1$. Рассмотрим три случая в зависимости от знака этого выражения:

1. Аргумент положителен: $x + 1 > 0$, что эквивалентно $x > -1$. При этих значениях $x$ функция принимает значение $y = 1$.

2. Аргумент равен нулю: $x + 1 = 0$, что эквивалентно $x = -1$. При этом значении $x$ функция принимает значение $y = 0$.

3. Аргумент отрицателен: $x + 1 < 0$, что эквивалентно $x < -1$. При этих значениях $x$ функция принимает значение $y = -1$.

Таким образом, для построения графика необходимо изобразить: луч $y = 1$ на интервале $(-1; +\infty)$ с выколотой начальной точкой $(-1, 1)$; точку с координатами $(-1, 0)$; и луч $y = -1$ на интервале $(-\infty; -1)$ с выколотой начальной точкой $(-1, -1)$.

Ответ: График функции состоит из луча $y = 1$ для $x > -1$ (с выколотой точкой в начале), точки $(-1, 0)$, и луча $y = -1$ для $x < -1$ (с выколотой точкой в начале).

2) $y = \operatorname{sgn}(1 - x^2)$

Здесь аргумент функции сигнум равен $z = 1 - x^2$. Рассмотрим три случая в зависимости от знака этого выражения:

1. Аргумент положителен: $1 - x^2 > 0$. Решая это неравенство, получаем $x^2 < 1$, что означает $-1 < x < 1$. При этих значениях $x$ функция принимает значение $y = 1$.

2. Аргумент равен нулю: $1 - x^2 = 0$. Решая это уравнение, получаем $x^2 = 1$, откуда $x = -1$ или $x = 1$. При этих значениях $x$ функция принимает значение $y = 0$.

3. Аргумент отрицателен: $1 - x^2 < 0$. Решая это неравенство, получаем $x^2 > 1$, что означает $x < -1$ или $x > 1$. При этих значениях $x$ функция принимает значение $y = -1$.

Таким образом, для построения графика необходимо изобразить: отрезок прямой $y=1$ на интервале $(-1; 1)$ с выколотыми концами в точках $(-1, 1)$ и $(1, 1)$; две точки с координатами $(-1, 0)$ и $(1, 0)$; и два луча на прямой $y=-1$, один для $x < -1$ и другой для $x > 1$, с выколотыми начальными точками $(-1, -1)$ и $(1, -1)$ соответственно.

Ответ: График функции состоит из отрезка прямой $y=1$ на интервале $(-1, 1)$ (с выколотыми концами), двух точек $(-1, 0)$ и $(1, 0)$, и двух лучей $y=-1$ на интервалах $(-\infty, -1)$ и $(1, +\infty)$ (с выколотыми точками в начале).