Номер 1.32, страница 14 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 1. Функция - номер 1.32, страница 14.

Условие.

1.32. Постройте график функции:

1) $y = \mathcal{D} (\mathcal{D} (x));$

2) $y = \{[x]\};$

3) $y = \sqrt{1 - [x]^2}.$

Решение.

1) $y = \mathfrak{D}(\mathfrak{D}(x))$

Функция Дирихле $\mathfrak{D}(x)$ определяется следующим образом:

$\mathfrak{D}(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x \text{ — рациональное число} \\ 0, & \text{если } x \text{ — иррациональное число} \end{cases}$

Рассмотрим заданную функцию $y = \mathfrak{D}(\mathfrak{D}(x))$. Это композиция двух функций Дирихле.

Сначала найдем значения внутренней функции $\mathfrak{D}(x)$. Область значений этой функции состоит из двух чисел: 0 и 1.

Теперь эти значения (0 и 1) становятся аргументом для внешней функции $\mathfrak{D}$.

Числа 0 и 1 являются рациональными. Поэтому, согласно определению функции Дирихле:

$\mathfrak{D}(0) = 1$

$\mathfrak{D}(1) = 1$

Таким образом, для любого действительного числа $x$, значение $\mathfrak{D}(x)$ будет либо 0, либо 1. В обоих случаях, $\mathfrak{D}(\mathfrak{D}(x))$ будет равно 1.

$y = \mathfrak{D}(\mathfrak{D}(x)) = 1$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Графиком этой функции является прямая линия, параллельная оси абсцисс (Ox) и проходящая через точку (0, 1).

Ответ: Графиком функции является прямая $y=1$.

2) $y = \{[x]\}$

В этой функции используются две стандартные операции: взятие целой части числа $[x]$ (антье, или функция «пол») и взятие дробной части числа $\{x\}$.

Функция $[x]$ возвращает наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Например, $[3.14] = 3$, $[5] = 5$, $[-2.7] = -3$.

Функция $\{x\}$ определяется как $\{x\} = x - [x]$. Например, $\{3.14\} = 0.14$, $\{5\} = 0$, $\{-2.7\} = -2.7 - (-3) = 0.3$.

Рассмотрим нашу функцию $y = \{[x]\}$.

Внутренняя функция, $[x]$, по определению, всегда принимает целочисленные значения для любого действительного $x$.

Пусть $n = [x]$, где $n$ — целое число.

Тогда функция принимает вид $y = \{n\}$.

Дробная часть любого целого числа $n$ равна нулю, так как $\{n\} = n - [n] = n - n = 0$.

Следовательно, для любого действительного числа $x$, значение функции $y = \{[x]\}$ равно 0.

$y = 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Графиком этой функции является ось абсцисс (Ox).

Ответ: Графиком функции является прямая $y=0$ (ось абсцисс).

3) $y = \sqrt{1 - [x]^2}$

Для построения графика этой функции сначала определим ее область определения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$1 - [x]^2 \ge 0$

$[x]^2 \le 1$

Извлекая корень из обеих частей, получаем:

$|[x]| \le 1$

Это неравенство эквивалентно двойному неравенству:

$-1 \le [x] \le 1$

Поскольку $[x]$ (целая часть $x$) по определению является целым числом, возможны только три значения для $[x]$: -1, 0 и 1.

Рассмотрим каждый случай:

1. Если $[x] = -1$, то $y = \sqrt{1 - (-1)^2} = \sqrt{1 - 1} = 0$. Условие $[x] = -1$ выполняется для всех $x$ из промежутка $x \in [-1, 0)$.
2. Если $[x] = 0$, то $y = \sqrt{1 - 0^2} = \sqrt{1} = 1$. Условие $[x] = 0$ выполняется для всех $x$ из промежутка $x \in [0, 1)$.
3. Если $[x] = 1$, то $y = \sqrt{1 - 1^2} = \sqrt{1 - 1} = 0$. Условие $[x] = 1$ выполняется для всех $x$ из промежутка $x \in [1, 2)$.

Для всех остальных значений $x$ функция не определена.

Таким образом, график функции состоит из трех горизонтальных отрезков:

• Отрезок прямой $y=0$ на полуинтервале $[-1, 0)$. Точка $(-1, 0)$ включена, точка $(0, 0)$ исключена.
• Отрезок прямой $y=1$ на полуинтервале $[0, 1)$. Точка $(0, 1)$ включена, точка $(1, 1)$ исключена.
• Отрезок прямой $y=0$ на полуинтервале $[1, 2)$. Точка $(1, 0)$ включена, точка $(2, 0)$ исключена.

Ответ: График функции представляет собой совокупность трех отрезков: горизонтальный отрезок на уровне $y=0$ для $x \in [-1, 0)$, горизонтальный отрезок на уровне $y=1$ для $x \in [0, 1)$, и горизонтальный отрезок на уровне $y=0$ для $x \in [1, 2)$. Конечные точки отрезков, соответствующие целым значениям $x$ слева, включаются в график (закрашенные точки), а справа — исключаются (выколотые точки).