Номер 1.37, страница 14 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 1. Функция - номер 1.37, страница 14.

Условие.

1.37. Функция задана описательно: каждому целому числу поставлен в соответствие остаток от деления квадрата этого числа на 3. Постройте график этой функции.

Решение.

По условию, функция $y=f(x)$ ставит в соответствие каждому целому числу $x \in Z$ остаток от деления квадрата этого числа, $x^2$, на 3. Это можно записать с помощью операции взятия остатка: $y = x^2 \pmod{3}$.

Чтобы найти все возможные значения функции, рассмотрим, какие остатки может давать само число $x$ при делении на 3. Любое целое число можно представить в одной из трех форм: $3k$, $3k+1$ или $3k+2$, где $k$ — некоторое целое число.

1. Если $x$ делится на 3 (т.е. $x = 3k$), то его квадрат $x^2 = (3k)^2 = 9k^2 = 3(3k^2)$ также делится на 3. Остаток в этом случае равен 0. Итак, $f(x) = 0$ для $x = ..., -6, -3, 0, 3, 6, ...$.

2. Если $x$ при делении на 3 дает остаток 1 (т.е. $x = 3k+1$), то его квадрат $x^2 = (3k+1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2+2k) + 1$. Остаток от деления $x^2$ на 3 равен 1. Итак, $f(x) = 1$ для $x = ..., -5, -2, 1, 4, 7, ...$.

3. Если $x$ при делении на 3 дает остаток 2 (т.е. $x = 3k+2$), то его квадрат $x^2 = (3k+2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 9k^2 + 12k + 3 + 1 = 3(3k^2+4k+1) + 1$. Остаток от деления $x^2$ на 3 также равен 1. Итак, $f(x) = 1$ для $x = ..., -4, -1, 2, 5, 8, ...$.

Таким образом, функция принимает только два значения: $y=0$, если $x$ кратно 3, и $y=1$, если $x$ не кратно 3.

График этой функции представляет собой множество изолированных точек, поскольку область определения — целые числа. Эти точки расположены на двух горизонтальных прямых в координатной плоскости.

Ответ: График функции — это множество точек $(x, y)$ с целочисленными абсциссами $x$. Точки лежат на двух прямых:
1) на прямой $y=0$ (ось Ox) расположены точки, абсциссы которых кратны 3 (например, $(..., (-3, 0), (0, 0), (3, 0), ...)$);
2) на прямой $y=1$ расположены точки, абсциссы которых не кратны 3 (например, $(..., (-2, 1), (-1, 1), (1, 1), (2, 1), ...)$).