Номер 1.35, страница 14 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 1. Функция - номер 1.35, страница 14.

Условие.

1.35. Постройте график функции:

1) $y = \operatorname{sgn}(1-x)$;

2) $y = \operatorname{sgn}(x^2 - 4)$.

Решение.

Для построения графиков данных функций необходимо использовать определение функции "сигнум" (signum или "знак числа"), которая обозначается как $\text{sgn}(a)$:

$\text{sgn}(a) = \begin{cases} 1, & \text{если } a > 0 \\ 0, & \text{если } a = 0 \\ -1, & \text{если } a < 0 \end{cases}$

То есть, значение функции $\text{sgn}$ равно 1, если ее аргумент положителен; 0, если аргумент равен нулю; и -1, если аргумент отрицателен.

1) $y = \text{sgn}(1 - x)$

Чтобы построить график, исследуем знак аргумента функции, то есть выражения $(1 - x)$, в зависимости от переменной $x$.

1. Найдём, когда аргумент больше нуля: $1 - x > 0$.
Решая это неравенство, получаем $x < 1$.
Следовательно, при $x < 1$, $y = \text{sgn}(1 - x) = 1$.

2. Найдём, когда аргумент равен нулю: $1 - x = 0$.
Решая уравнение, получаем $x = 1$.
Следовательно, при $x = 1$, $y = \text{sgn}(1 - x) = 0$.

3. Найдём, когда аргумент меньше нуля: $1 - x < 0$.
Решая это неравенство, получаем $x > 1$.
Следовательно, при $x > 1$, $y = \text{sgn}(1 - x) = -1$.

Таким образом, функцию можно представить в виде кусочно-заданной функции:

$y = \begin{cases} 1, & \text{при } x < 1 \\ 0, & \text{при } x = 1 \\ -1, & \text{при } x > 1 \end{cases}$

График этой функции состоит из трех частей:
- Горизонтальный луч $y = 1$ для всех $x$ из интервала $(-\infty, 1)$. Точка $(1, 1)$ не принадлежит графику (является "выколотой").
- Точка с координатами $(1, 0)$.
- Горизонтальный луч $y = -1$ для всех $x$ из интервала $(1, \infty)$. Точка $(1, -1)$ не принадлежит графику (является "выколотой").

Ответ: График функции $y = \text{sgn}(1-x)$ представляет собой: луч $y=1$ для $x<1$; точку $(1,0)$; луч $y=-1$ для $x>1$. Точки $(1,1)$ и $(1,-1)$ на концах лучей выколоты.

2) $y = \text{sgn}(x^2 - 4)$

Аналогично, исследуем знак аргумента функции, выражения $(x^2 - 4)$, в зависимости от переменной $x$. Аргумент является квадратичной функцией, график которой — парабола с ветвями вверх, пересекающая ось Ox в точках $x=-2$ и $x=2$.

1. Найдём, когда аргумент больше нуля: $x^2 - 4 > 0$.
Разложим на множители: $(x - 2)(x + 2) > 0$.
Методом интервалов находим решение: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.
Следовательно, на этих интервалах $y = \text{sgn}(x^2 - 4) = 1$.

2. Найдём, когда аргумент равен нулю: $x^2 - 4 = 0$.
Корнями уравнения являются $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.
Следовательно, при $x = -2$ и $x = 2$, $y = \text{sgn}(x^2 - 4) = 0$.

3. Найдём, когда аргумент меньше нуля: $x^2 - 4 < 0$.
Разложим на множители: $(x - 2)(x + 2) < 0$.
Методом интервалов находим решение: $x \in (-2, 2)$.
Следовательно, на этом интервале $y = \text{sgn}(x^2 - 4) = -1$.

Таким образом, функцию можно представить в виде кусочно-заданной функции:

$y = \begin{cases} 1, & \text{при } x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty) \\ 0, & \text{при } x = -2 \text{ и } x = 2 \\ -1, & \text{при } x \in (-2, 2) \end{cases}$

График этой функции состоит из следующих частей:
- Два горизонтальных луча $y = 1$ для $x \in (-\infty, -2)$ и $x \in (2, \infty)$. Точки $(-2, 1)$ и $(2, 1)$ являются выколотыми.
- Две точки на оси абсцисс: $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.
- Горизонтальный отрезок $y = -1$ для $x \in (-2, 2)$. Концы отрезка, точки $(-2, -1)$ и $(2, -1)$, являются выколотыми.

Ответ: График функции $y=\text{sgn}(x^2 - 4)$ представляет собой: два луча $y=1$ на интервалах $(-\infty, -2)$ и $(2, \infty)$; две точки $(-2,0)$ и $(2,0)$; отрезок прямой $y=-1$ на интервале $(-2, 2)$. Концевые точки лучей и отрезка с координатами $(-2, \pm 1)$ и $(2, \pm 1)$ выколоты.