Номер 1.29, страница 14 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 1. Функция - номер 1.29, страница 14.

Условие.

1.29. Найдите область определения функции:

1) $y = \frac{1}{\mathfrak{D}(x)};$ 3) $y = \frac{1}{\{x\}};$ 5) $y = \sqrt{\mathfrak{D}(x) - 1}.$

2) $y = \frac{1}{[x]};$ 4) $y = \sqrt{-\mathfrak{D}(x)};$

Решение.

1) Область определения функции $y = \frac{1}{\mathfrak{D}(x)}$ задается условием, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\mathfrak{D}(x) \neq 0$.
Функция Дирихле $\mathfrak{D}(x)$ определяется следующим образом:
$\mathfrak{D}(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x \in \mathbb{Q} \text{ (рациональное число)} \\ 0, & \text{если } x \in \mathbb{I} \text{ (иррациональное число)} \end{cases}$
Условие $\mathfrak{D}(x) \neq 0$ выполняется тогда и только тогда, когда $x$ является рациональным числом, так как для иррациональных чисел $\mathfrak{D}(x) = 0$. Следовательно, область определения функции — это множество всех рациональных чисел.
Ответ: $x \in \mathbb{Q}$.

2) Область определения функции $y = \frac{1}{[x]}$ задается условием, что знаменатель дроби не равен нулю: $[x] \neq 0$.
Здесь $[x]$ — это целая часть числа $x$ (функция "пол" или "антье"), то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$.
Условие $[x] = 0$ выполняется для всех $x$, таких что $0 \le x < 1$. Эти значения необходимо исключить из области определения.
Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме промежутка $[0, 1)$.
Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup [1, +\infty)$.

3) Область определения функции $y = \frac{1}{\{x\}}$ задается условием, что знаменатель дроби не равен нулю: $\{x\} \neq 0$.
Здесь $\{x\}$ — это дробная часть числа $x$, которая определяется как $\{x\} = x - [x]$.
Дробная часть числа равна нулю тогда и только тогда, когда число является целым. То есть, $\{x\} = 0 \iff x \in \mathbb{Z}$.
Следовательно, из области определения необходимо исключить все целые числа.
Ответ: $x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}$.

4) Область определения функции $y = \sqrt{-\mathfrak{D}(x)}$ задается условием неотрицательности подкоренного выражения: $-\mathfrak{D}(x) \ge 0$, что равносильно $\mathfrak{D}(x) \le 0$.
Так как функция Дирихле $\mathfrak{D}(x)$ принимает только значения 0 (для иррациональных $x$) и 1 (для рациональных $x$), условие $\mathfrak{D}(x) \le 0$ выполняется только при $\mathfrak{D}(x) = 0$.
Это происходит, когда $x$ является иррациональным числом.
Ответ: $x \in \mathbb{I}$.

5) Область определения функции $y = \sqrt{\mathfrak{D}(x) - 1}$ задается условием неотрицательности подкоренного выражения: $\mathfrak{D}(x) - 1 \ge 0$, что равносильно $\mathfrak{D}(x) \ge 1$.
Так как функция Дирихле $\mathfrak{D}(x)$ принимает только значения 0 и 1, условие $\mathfrak{D}(x) \ge 1$ выполняется только при $\mathfrak{D}(x) = 1$.
Это происходит, когда $x$ является рациональным числом.
Ответ: $x \in \mathbb{Q}$.