Номер 1.36, страница 14 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 1. Функция - номер 1.36, страница 14.

Условие.

1.36. Функция задана описательно: каждому целому числу поставлен в соответствие остаток от деления квадрата этого числа на 5. Постройте график этой функции.

Решение.

Согласно условию, функция $f(x)$ определена для любого целого числа $x \in \mathbb{Z}$ и её значение равно остатку от деления $x^2$ на 5. Это можно записать с помощью операции взятия остатка (по модулю):

$y = f(x) = x^2 \pmod{5}$

Анализ функции

Поскольку нас интересует остаток от деления на 5, значение функции зависит только от того, какой остаток дает само число $x$ при делении на 5. Любое целое число $x$ можно представить в виде $x = 5k + r$, где $k$ - целое число, а $r$ - остаток от деления $x$ на 5, т.е. $r \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$.

Тогда $x^2 = (5k + r)^2 = 25k^2 + 10kr + r^2 = 5(5k^2 + 2kr) + r^2$.

Видно, что остаток от деления $x^2$ на 5 равен остатку от деления $r^2$ на 5. Это означает, что функция является периодической с периодом 5. Для построения графика достаточно найти значения функции для $x$ с остатками $0, 1, 2, 3, 4$ и затем повторить этот узор для всех остальных целых чисел.

Вычисление значений функции

Найдем значения функции для различных остатков $r$ числа $x$ при делении на 5:

• Если $x$ дает остаток 0 при делении на 5 ($x = ..., -5, 0, 5, ...$): $y = 0^2 \pmod{5} = 0$.
• Если $x$ дает остаток 1 при делении на 5 ($x = ..., -4, 1, 6, ...$): $y = 1^2 \pmod{5} = 1$.
• Если $x$ дает остаток 2 при делении на 5 ($x = ..., -3, 2, 7, ...$): $y = 2^2 \pmod{5} = 4$.
• Если $x$ дает остаток 3 при делении на 5 ($x = ..., -2, 3, 8, ...$): $y = 3^2 \pmod{5} = 9 \pmod{5} = 4$.
• Если $x$ дает остаток 4 при делении на 5 ($x = ..., -1, 4, 9, ...$): $y = 4^2 \pmod{5} = 16 \pmod{5} = 1$.

Таким образом, область значений функции состоит из трех чисел: $\{0, 1, 4\}$.

Построение графика

График функции состоит из набора изолированных точек с целыми координатами $(x, y)$, где $x \in \mathbb{Z}$, а $y \in \{0, 1, 4\}$. Эти точки располагаются на трех горизонтальных прямых.

• На прямой $y=0$ лежат точки, абсциссы которых кратны 5: ..., $(-5, 0), (0, 0), (5, 0), ...$
• На прямой $y=1$ лежат точки, абсциссы которых при делении на 5 дают остаток 1 или 4: ..., $(-4, 1), (-1, 1), (1, 1), (4, 1), (6, 1), ...$
• На прямой $y=4$ лежат точки, абсциссы которых при делении на 5 дают остаток 2 или 3: ..., $(-3, 4), (-2, 4), (2, 4), (3, 4), (7, 4), ...$

Схематично график выглядит как периодически повторяющийся узор из точек, расположенных на разных "уровнях".

Ответ: График функции представляет собой бесконечный набор изолированных точек, расположенных на горизонтальных прямых $y=0$, $y=1$ и $y=4$. Точка $(x,y)$ принадлежит графику, если $x$ - целое число, а $y$ - остаток от деления $x^2$ на 5. Расположение точек периодически повторяется с периодом 5 по оси абсцисс.