Номер 1.41, страница 14 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 1. Функция - номер 1.41, страница 14.

Условие.

1.41. Найдите функцию g такую, что $D(g) = \mathbb{R}$ и для любого $x \in \mathbb{R}$ выполняется равенство $g(4-x) = 3x+1$.

Решение.

Для того чтобы найти функцию $g$, необходимо выразить ее через независимую переменную, например, $t$. В условии задачи дан вид функции от выражения $4 - x$.

Введем замену переменной. Пусть $t = 4 - x$. Наша цель — найти $g(t)$.

Для этого сначала выразим $x$ через $t$ из нашего равенства:

$t = 4 - x \implies x = 4 - t$.

Теперь подставим это выражение для $x$ в исходное равенство $g(4 - x) = 3x + 1$. Левую часть $g(4 - x)$ мы заменяем на $g(t)$, а в правую часть вместо $x$ подставляем $4 - t$:

$g(t) = 3(4 - t) + 1$.

Теперь упростим выражение в правой части, чтобы получить явный вид функции $g(t)$:

$g(t) = 12 - 3t + 1$

$g(t) = 13 - 3t$.

Мы нашли общий вид функции $g$. По традиции, аргумент функции обозначается буквой $x$, поэтому мы можем записать ответ в виде $g(x) = 13 - 3x$.

Проверим, удовлетворяет ли найденная функция условиям задачи.
1. Область определения $D(g)$: функция $g(x) = 13 - 3x$ является линейной и определена для всех действительных чисел, то есть $D(g) = \mathbb{R}$. Это соответствует условию.
2. Проверим равенство $g(4 - x) = 3x + 1$. Подставим $4 - x$ в качестве аргумента в нашу функцию $g(x) = 13 - 3x$:
$g(4 - x) = 13 - 3(4 - x) = 13 - 12 + 3x = 3x + 1$.
Равенство выполняется для любого $x \in \mathbb{R}$.

Следовательно, функция найдена верно.

Ответ: $g(x) = 13 - 3x$.