Номер 1.44, страница 15 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 1. Функция - номер 1.44, страница 15.

Условие.

1.44. Найдите функцию $f$ такую, что $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ и для любого $x \in D(f)$ выполняется равенство $f(x) - 3f\left(\frac{1}{x}\right) = x + \frac{1}{x}$.

Решение.

Нам дано функциональное уравнение для всех $x \in D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$:

$f(x) - 3f(\frac{1}{x}) = x + \frac{1}{x}$ (1)

Поскольку это равенство верно для любого $x$ из области определения, оно будет верным и для $y = \frac{1}{x}$. Заметим, что если $x \in D(f)$, то и $\frac{1}{x} \in D(f)$.

Выполним в уравнении (1) замену переменной $x$ на $\frac{1}{x}$:

$f(\frac{1}{x}) - 3f(\frac{1}{1/x}) = \frac{1}{x} + \frac{1}{1/x}$

После упрощения получаем второе уравнение:

$f(\frac{1}{x}) - 3f(x) = \frac{1}{x} + x$ (2)

Теперь мы имеем систему из двух линейных уравнений относительно $f(x)$ и $f(\frac{1}{x})$:

$\begin{cases} f(x) - 3f(\frac{1}{x}) = x + \frac{1}{x} \\ -3f(x) + f(\frac{1}{x}) = x + \frac{1}{x} \end{cases}$

Для решения этой системы можно использовать метод подстановки или сложения. Воспользуемся методом сложения, чтобы исключить $f(\frac{1}{x})$. Для этого умножим второе уравнение системы на 3:

$3 \cdot (-3f(x) + f(\frac{1}{x})) = 3 \cdot (x + \frac{1}{x})$

$-9f(x) + 3f(\frac{1}{x}) = 3x + \frac{3}{x}$

Теперь сложим полученное уравнение с первым уравнением исходной системы:

$(f(x) - 3f(\frac{1}{x})) + (-9f(x) + 3f(\frac{1}{x})) = (x + \frac{1}{x}) + (3x + \frac{3}{x})$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$f(x) - 9f(x) - 3f(\frac{1}{x}) + 3f(\frac{1}{x}) = x + 3x + \frac{1}{x} + \frac{3}{x}$

$-8f(x) = 4x + \frac{4}{x}$

Теперь выразим $f(x)$:

$f(x) = \frac{4x + \frac{4}{x}}{-8} = -\frac{4(x + \frac{1}{x})}{8} = -\frac{1}{2}(x + \frac{1}{x})$

Итак, искомая функция: $f(x) = -\frac{x}{2} - \frac{1}{2x}$.

Для проверки подставим найденную функцию в исходное уравнение.
Сначала найдем $f(\frac{1}{x})$:
$f(\frac{1}{x}) = -\frac{1}{2}(\frac{1}{x} + \frac{1}{1/x}) = -\frac{1}{2}(\frac{1}{x} + x)$.
Теперь подставим $f(x)$ и $f(\frac{1}{x})$ в левую часть исходного равенства:
$f(x) - 3f(\frac{1}{x}) = -\frac{1}{2}(x + \frac{1}{x}) - 3(-\frac{1}{2}(\frac{1}{x} + x)) = -\frac{1}{2}(x + \frac{1}{x}) + \frac{3}{2}(x + \frac{1}{x})$
$= (x + \frac{1}{x})(-\frac{1}{2} + \frac{3}{2}) = (x + \frac{1}{x})(\frac{2}{2}) = x + \frac{1}{x}$.
Полученное выражение совпадает с правой частью исходного уравнения, значит, функция найдена верно.

Ответ: $f(x) = -\frac{1}{2}(x + \frac{1}{x})$