Вопросы?, страница 27 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции - страница 27.

Условие.

1. Что называют нулём функции?

2. Что называют промежутками знакопостоянства функции?

3. Какую функцию называют возрастающей (убывающей) на множестве $M$?

4. Какую функцию называют возрастающей (убывающей)?

5. Функция $y = f(x)$ является возрастающей (убывающей). Сколько корней может иметь уравнение $f(x) = a$, где $a$ — некоторое число?

6. Какое число называют наибольшим (наименьшим) значением функции на множестве $M$?

Решение.

1. Что называют нулём функции?
Нулём функции $y = f(x)$ называют такое значение аргумента $x$, при котором значение функции равно нулю. Чтобы найти нули функции, необходимо решить уравнение $f(x) = 0$. Геометрически нули функции — это абсциссы (координаты по оси $x$) точек пересечения графика функции с осью абсцисс ($Ox$). Например, для функции $f(x) = x - 5$ нулём является значение $x = 5$, так как $f(5) = 5 - 5 = 0$.
Ответ: Значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

2. Что называют промежутками знакопостоянства функции?
Промежутками знакопостоянства функции называют такие промежутки из области определения функции, на которых она принимает значения только одного знака: либо только положительные ($f(x) > 0$), либо только отрицательные ($f(x) < 0$). Для нахождения этих промежутков обычно сначала находят нули функции и точки разрыва, которые разбивают область определения на интервалы. Затем определяют знак функции на каждом из этих интервалов. Например, для функции $f(x) = x^2 - 9$ нулями являются $x = -3$ и $x = 3$. На промежутках $(-\infty; -3)$ и $(3; +\infty)$ функция положительна ($f(x) > 0$), а на промежутке $(-3; 3)$ — отрицательна ($f(x) < 0$).
Ответ: Промежутки из области определения функции, на которых функция сохраняет свой знак (т.е. является либо только положительной, либо только отрицательной).

3. Какую функцию называют возрастающей (убывающей) на множестве M?
Функцию $f(x)$ называют возрастающей на множестве $M$ (являющемся подмножеством её области определения), если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого множества, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$. Простыми словами, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Функцию $f(x)$ называют убывающей на множестве $M$, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого множества, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) < f(x_1)$. То есть, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Ответ: Функцию называют возрастающей на множестве $M$, если для любых двух точек из $M$ большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функцию называют убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

4. Какую функцию называют возрастающей (убывающей)?
Функцию называют возрастающей (или убывающей), если она является таковой на всей своей области определения. Это означает, что свойство возрастания (или убывания), описанное в предыдущем пункте, выполняется для любых двух точек из области определения функции. Например, линейная функция $y = 3x - 2$ является возрастающей на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$. Функция $y = -x^3$ является убывающей на всей своей области определения. В то же время функция $y = x^2$ не является ни возрастающей, ни убывающей на всей области определения, но она убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
Ответ: Функцию, которая возрастает (убывает) на всей своей области определения.

5. Функция y = f(x) является возрастающей (убывающей). Сколько корней может иметь уравнение f(x) = a, где a — некоторое число?
Если функция $y = f(x)$ является возрастающей или убывающей на всей своей области определения, то она является строго монотонной. Это означает, что каждое своё значение она принимает только один раз. То есть, не может существовать двух разных значений аргумента $x_1 \neq x_2$, для которых $f(x_1) = f(x_2)$.
Следовательно, уравнение $f(x) = a$ может иметь либо один корень (если число $a$ принадлежит множеству значений функции), либо не иметь корней (если $a$ не принадлежит множеству значений). Таким образом, уравнение $f(x) = a$ для строго монотонной функции не может иметь более одного корня.
Ответ: Не более одного корня (либо один корень, либо ни одного).

6. Какое число называют наибольшим (наименьшим) значением функции на множестве M?
Число $y_{max}$ называют наибольшим значением функции $f(x)$ на множестве $M$, если существует такая точка $x_0 \in M$, что $f(x_0) = y_{max}$, и для любого другого значения $x \in M$ выполняется неравенство $f(x) \le f(x_0)$. То есть, это самое большое значение, которое функция принимает на данном множестве.
Число $y_{min}$ называют наименьшим значением функции $f(x)$ на множестве $M$, если существует такая точка $x_0 \in M$, что $f(x_0) = y_{min}$, и для любого другого значения $x \in M$ выполняется неравенство $f(x) \ge f(x_0)$. То есть, это самое маленькое значение, которое функция принимает на данном множестве.
Ответ: Наибольшим (наименьшим) значением функции на множестве $M$ называют значение функции в некоторой точке этого множества, которое больше или равно (меньше или равно) всех остальных значений функции на множестве $M$.