Номер 2.6, страница 28 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 2.6, страница 28.

Условие.

2.6. Найдите нули функции:

1) $y = x^2 + 1;$

2) $y = \sqrt{x - 1} \cdot \sqrt{x + 1};$

3) $y = x\sqrt{x - 1};$

4) $y = |x| - x;$

5) $y = \{x\};$

6) $y = \mathfrak{D}(x).$

Решение.

1) Чтобы найти нули функции $y = x^2 + 1$, необходимо решить уравнение $y=0$.

$x^2 + 1 = 0$

$x^2 = -1$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, поэтому данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел. Следовательно, у функции нет нулей.

Ответ: нулей нет.

---

2) Чтобы найти нули функции $y = \sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x+1}$, приравняем ее к нулю. Но сначала найдем область определения функции (ОДЗ).

Подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x-1 \ge 0 \\ x+1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1 \\ x \ge -1 \end{cases}$

Пересечением этих двух условий является $x \ge 1$. Таким образом, область определения функции $D(y) = [1, +\infty)$.

Теперь решим уравнение $y=0$:

$\sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x+1} = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$\sqrt{x-1} = 0$ или $\sqrt{x+1} = 0$

$x-1 = 0 \implies x=1$

$x+1 = 0 \implies x=-1$

Проверим, принадлежат ли найденные значения области определения функции.

$x=1$ принадлежит ОДЗ ($1 \ge 1$).

$x=-1$ не принадлежит ОДЗ ($-1 < 1$).

Следовательно, единственным нулем функции является $x=1$.

Ответ: 1.

---

3) Чтобы найти нули функции $y = x\sqrt{x-1}$, найдем ее область определения и решим уравнение $y=0$.

Область определения: подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$.

$D(y) = [1, +\infty)$.

Решим уравнение $y=0$:

$x\sqrt{x-1} = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x=0$ или $\sqrt{x-1}=0$.

Из второго уравнения получаем $x-1=0$, то есть $x=1$.

Проверим найденные значения с областью определения:

$x=0$ не принадлежит ОДЗ ($0 < 1$).

$x=1$ принадлежит ОДЗ ($1 \ge 1$).

Таким образом, функция имеет один нуль.

Ответ: 1.

---

4) Чтобы найти нули функции $y = |x| - x$, решим уравнение $y=0$.

$|x| - x = 0$

$|x| = x$

По определению модуля, это равенство верно для всех неотрицательных чисел.

Рассмотрим два случая:

1. Если $x \ge 0$, то $|x|=x$, и уравнение принимает вид $x-x=0$, или $0=0$. Это верное равенство для всех $x$ из рассматриваемого промежутка, то есть для $x \in [0, +\infty)$.

2. Если $x < 0$, то $|x|=-x$, и уравнение принимает вид $-x-x=0$, или $-2x=0$, откуда $x=0$. Но это значение не входит в рассматриваемый промежуток $x < 0$.

Объединяя результаты, получаем, что нулями функции являются все числа из промежутка $[0, +\infty)$.

Ответ: $[0, +\infty)$.

---

5) Функция $y = \{x\}$ представляет собой дробную часть числа $x$. Дробная часть числа определяется как $\{x\} = x - \lfloor x \rfloor$, где $\lfloor x \rfloor$ - целая часть числа $x$ (наибольшее целое число, не превосходящее $x$).

Чтобы найти нули функции, нужно решить уравнение:

$\{x\} = 0$

Дробная часть числа равна нулю тогда и только тогда, когда само число является целым. Например, $\{3\} = 3-3=0$, $\{-5\} = -5 - (-5) = 0$.

Следовательно, нулями данной функции являются все целые числа.

Ответ: все целые числа ($x \in \mathbb{Z}$).

---

6) Функция $y = \mathfrak{D}(x)$ — это функция Дирихле. Она определяется следующим образом:

$\mathfrak{D}(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x \text{ — рациональное число} \\ 0, & \text{если } x \text{ — иррациональное число} \end{cases}$

Чтобы найти нули функции, необходимо найти все значения $x$, при которых $\mathfrak{D}(x) = 0$.

Согласно определению функции Дирихле, это условие выполняется для всех иррациональных чисел.

Ответ: все иррациональные числа.