Номер 2.13, страница 29 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 2.13, страница 29.

Условие.

2.13. Функция $y = f(x)$ возрастает на множестве $\mathbf{R}$. Возрастающей или убывающей на множестве $\mathbf{R}$ является функция (ответ обоснуйте):

1) $y = -3f(x)$;

2) $y = f(-x)$;

3) $y = f(x+5)$?

Решение.

По определению, функция $y = f(x)$ возрастает на множестве $R$, если для любых $x_1$ и $x_2$ из этого множества, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

1) $y = -3f(x)$

Рассмотрим функцию $g(x) = -3f(x)$. Возьмем два произвольных числа $x_1$ и $x_2$ из множества $R$, такие что $x_1 < x_2$. Поскольку $f(x)$ возрастает, то из $x_1 < x_2$ следует, что $f(x_1) < f(x_2)$. Умножим обе части этого неравенства на $-3$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $-3f(x_1) > -3f(x_2)$. Это означает, что $g(x_1) > g(x_2)$. Так как для $x_1 < x_2$ выполняется $g(x_1) > g(x_2)$, то функция $y = -3f(x)$ является убывающей на множестве $R$.

Ответ: убывающей.

2) $y = f(-x)$

Рассмотрим функцию $h(x) = f(-x)$. Возьмем два произвольных числа $x_1$ и $x_2$ из множества $R$, такие что $x_1 < x_2$. Умножим обе части этого неравенства на $-1$. Знак неравенства изменится на противоположный: $-x_1 > -x_2$. Поскольку функция $f$ возрастает, то большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Так как $-x_1 > -x_2$, то $f(-x_1) > f(-x_2)$. Это означает, что $h(x_1) > h(x_2)$. Так как для $x_1 < x_2$ выполняется $h(x_1) > h(x_2)$, то функция $y = f(-x)$ является убывающей на множестве $R$.

Ответ: убывающей.

3) $y = f(x + 5)$

Рассмотрим функцию $k(x) = f(x + 5)$. Возьмем два произвольных числа $x_1$ и $x_2$ из множества $R$, такие что $x_1 < x_2$. Прибавим к обеим частям этого неравенства число 5. Знак неравенства не изменится: $x_1 + 5 < x_2 + 5$. Поскольку функция $f$ возрастает, то большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Так как $x_1 + 5 < x_2 + 5$, то $f(x_1 + 5) < f(x_2 + 5)$. Это означает, что $k(x_1) < k(x_2)$. Так как для $x_1 < x_2$ выполняется $k(x_1) < k(x_2)$, то функция $y = f(x + 5)$ является возрастающей на множестве $R$.

Ответ: возрастающей.