Номер 2.14, страница 29 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 2.14, страница 29.

Условие.

2.14. Докажите, что функция $y = x^n$, где $n \in N$, $n$ — нечётное, является возрастающей.

Решение.

Чтобы доказать, что функция $y = x^n$, где $n \in N$ и $n$ — нечётное, является возрастающей, необходимо показать, что для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из области определения функции, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$, то есть $x_2^n > x_1^n$.

Область определения данной функции — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$. Разобьем доказательство на три случая в зависимости от знаков $x_1$ и $x_2$.

1. Пусть $0 \le x_1 < x_2$. В этом случае оба числа неотрицательны. Рассмотрим разность $x_2^n - x_1^n$ и воспользуемся формулой разности степеней:
$x_2^n - x_1^n = (x_2 - x_1)(x_2^{n-1} + x_2^{n-2}x_1 + \dots + x_1^{n-1})$.
По условию $x_2 > x_1$, следовательно, первый множитель $(x_2 - x_1)$ положителен. Второй множитель, представляющий собой сумму $n$ слагаемых, также положителен, так как все слагаемые в нем неотрицательны ($x_1 \ge 0, x_2 > 0$), а первое слагаемое $x_2^{n-1}$ строго положительно. Произведение двух положительных чисел положительно, значит, $x_2^n - x_1^n > 0$, откуда $x_2^n > x_1^n$.

2. Пусть $x_1 < x_2 \le 0$. В этом случае оба числа неположительны. Сделаем замену: $a = -x_1$ и $b = -x_2$. Из условия $x_1 < x_2 \le 0$ следует, что $-x_1 > -x_2 \ge 0$, то есть $a > b \ge 0$. Нам нужно доказать неравенство $x_2^n > x_1^n$, которое в новых переменных запишется как $(-b)^n > (-a)^n$.
Поскольку $n$ — нечётное число, $(-b)^n = -b^n$ и $(-a)^n = -a^n$. Неравенство принимает вид $-b^n > -a^n$. Умножив обе части на -1, получим равносильное неравенство $b^n < a^n$.
Так как $a > b \ge 0$, и, как было показано в первом случае, функция $y=t^n$ возрастает для неотрицательных $t$, неравенство $a^n > b^n$ является верным. Следовательно, верно и исходное неравенство $x_2^n > x_1^n$.

3. Пусть $x_1 < 0 < x_2$. В этом случае $x_1$ — отрицательное число, а $x_2$ — положительное. Так как $n$ — нечётное число, то $x_1^n$ будет отрицательным ($x_1^n < 0$). В то же время, $x_2^n$ будет положительным ($x_2^n > 0$). Любое положительное число больше любого отрицательного, поэтому $x_2^n > x_1^n$.

Таким образом, мы рассмотрели все возможные случаи и показали, что для любых $x_1, x_2$ из условия $x_2 > x_1$ следует $x_2^n > x_1^n$. Это доказывает, что функция $y = x^n$ при нечётном натуральном $n$ является возрастающей на всей числовой прямой.

Ответ: Что и требовалось доказать.