Номер 2.21, страница 29 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 2.21, страница 29.

Условие.

2.21. Найдите промежутки возрастания и убывания функции $y = \frac{1}{-x^2 - 4}$.

Решение.

Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции $y = \frac{1}{-x^2 - 4}$, необходимо найти ее производную и исследовать ее знак.

1. Область определения функции

Функция является дробно-рациональной. Ее область определения — все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$-x^2 - 4 = 0$

$x^2 = -4$

Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, знаменатель никогда не равен нулю, и функция определена на всей числовой оси. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Нахождение производной

Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ или представим функцию в виде $y = (-x^2 - 4)^{-1}$ и воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции.

Используем второй способ:

$y' = ((-x^2 - 4)^{-1})' = -1 \cdot (-x^2 - 4)^{-2} \cdot (-x^2 - 4)'$

$y' = -(-x^2 - 4)^{-2} \cdot (-2x)$

$y' = \frac{2x}{(-x^2 - 4)^2}$

3. Нахождение критических точек

Критические точки — это точки из области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует.Производная $y' = \frac{2x}{(-x^2 - 4)^2}$ существует при всех $x$, так как знаменатель $(-x^2 - 4)^2$ никогда не равен нулю.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:

$\frac{2x}{(-x^2 - 4)^2} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

$2x = 0$

$x = 0$

Таким образом, $x=0$ является единственной критической точкой.

4. Определение промежутков возрастания и убывания

Критическая точка $x=0$ разбивает числовую прямую на два интервала: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. Определим знак производной $y'$ на каждом из этих интервалов. Знаменатель производной $(-x^2 - 4)^2$ всегда положителен, так как представляет собой квадрат ненулевого выражения. Следовательно, знак производной совпадает со знаком ее числителя $2x$.

• При $x \in (-\infty; 0)$, числитель $2x < 0$, значит $y' < 0$. На этом интервале функция убывает.
• При $x \in (0; +\infty)$, числитель $2x > 0$, значит $y' > 0$. На этом интервале функция возрастает.

Так как функция непрерывна в точке $x=0$, эту точку можно включить в промежутки монотонности.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; 0]$.