Номер 2.26, страница 29 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 2.26, страница 29.

Условие.

2.26. Найдите $\max_M f(x)$ и $\min_M f(x)$, если:

1) $f(x) = x^2 - 6x + 10, M = \mathbf{R};$

2) $f(x) = \sqrt{16-x^2}, M = D(f).$

Решение.

1) Дана функция $f(x) = x^2 - 6x + 10$ на множестве $M = \mathbb{R}$.

Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Парабола, ветви которой направлены вверх, имеет точку минимума в своей вершине, но не ограничена сверху, а значит не имеет максимального значения на всей числовой прямой.

Следовательно, $\max_{M} f(x)$ не существует.

Чтобы найти минимальное значение, найдем координаты вершины параболы. Для этого представим функцию в виде, выделив полный квадрат:

$f(x) = x^2 - 6x + 10 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + 10 = (x - 3)^2 - 9 + 10 = (x - 3)^2 + 1$.

Выражение $(x - 3)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(x - 3)^2 \ge 0$. Его наименьшее значение равно 0 и достигается при $x = 3$.

Таким образом, минимальное значение функции $f(x)$ равно:

$\min_{M} f(x) = f(3) = (3 - 3)^2 + 1 = 0 + 1 = 1$.

Ответ: $\min_{\mathbb{R}} f(x) = 1$, $\max_{\mathbb{R}} f(x)$ не существует.

2) Дана функция $f(x) = \sqrt{16 - x^2}$ на множестве $M = D(f)$.

Сначала найдем область определения функции $D(f)$. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$16 - x^2 \ge 0$

$x^2 \le 16$

$-4 \le x \le 4$

Следовательно, $M = D(f) = [-4, 4]$. Нам нужно найти наибольшее и наименьшее значение функции на этом отрезке.

По определению, арифметический квадратный корень является неотрицательной величиной, поэтому $f(x) \ge 0$ для всех $x$ из области определения. Наименьшее значение функции достигается, когда подкоренное выражение равно нулю:

$16 - x^2 = 0 \implies x^2 = 16 \implies x = \pm 4$.

При этих значениях $x$ значение функции равно $f(-4) = f(4) = \sqrt{0} = 0$. Таким образом, $\min_{M} f(x) = 0$.

Для нахождения наибольшего значения функции нужно найти наибольшее значение подкоренного выражения $g(x) = 16 - x^2$ на отрезке $[-4, 4]$.

График функции $g(x) = 16 - x^2$ — это парабола с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $x = 0$. Следовательно, своего максимального значения на отрезке $[-4, 4]$ функция $g(x)$ достигает в вершине.

Максимальное значение $g(x)$ равно $g(0) = 16 - 0^2 = 16$.

Тогда наибольшее значение функции $f(x)$ будет:

$\max_{M} f(x) = f(0) = \sqrt{16 - 0^2} = \sqrt{16} = 4$.

Ответ: $\min_{D(f)} f(x) = 0$, $\max_{D(f)} f(x) = 4$.