Номер 2.33, страница 30 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 2.33, страница 30.

Условие.

2.33. При каких значениях параметра $a$ функция $y = |x - a|$ возрастает на промежутке $[2; +\infty)$?

Решение.

Рассмотрим функцию $y = |x - a|$. По определению модуля, её можно представить в виде кусочно-линейной функции:

$y = \begin{cases} x - a, & \text{если } x \ge a \\ -x + a, & \text{если } x < a \end{cases} $

На промежутке $[a; +\infty)$ функция совпадает с $y = x - a$. Это линейная функция с угловым коэффициентом $k=1$, следовательно, она возрастает. На промежутке $(-\infty; a)$ функция совпадает с $y = -x + a$. Это линейная функция с угловым коэффициентом $k=-1$, следовательно, она убывает. Точка $x=a$ является точкой минимума.

Итак, функция $y = |x - a|$ убывает на промежутке $(-\infty; a]$ и возрастает на промежутке $[a; +\infty)$.

По условию задачи, функция должна возрастать на промежутке $[2; +\infty)$. Для выполнения этого условия необходимо, чтобы промежуток $[2; +\infty)$ полностью входил в промежуток возрастания функции, то есть в $[a; +\infty)$.

Это требование можно записать в виде включения множеств: $[2; +\infty) \subseteq [a; +\infty)$.

Данное включение справедливо тогда и только тогда, когда левая граница первого промежутка (число 2) не меньше левой границы второго промежутка (числа $a$).

Таким образом, мы получаем неравенство: $2 \ge a$, что эквивалентно $a \le 2$.

Следовательно, функция возрастает на промежутке $[2; +\infty)$ при всех значениях параметра $a$ из промежутка $(-\infty; 2]$.

Ответ: $a \in (-\infty; 2]$.