Номер 2.29, страница 30 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 2.29, страница 30.

Условие.

2.29. Функции $f$ и $g$ определены на множестве $R$. Возрастающей или убы-вающей является функция $y = f(g(x))$, если:

1) $f$ и $g$ — возрастающие функции;

2) $f$ и $g$ — убывающие функции?

Решение.

1) f и g — возрастающие функции;

Для определения характера монотонности сложной функции $y = f(g(x))$ воспользуемся определением возрастающей функции. Функция называется возрастающей, если для любых $x_1$ и $x_2$ из ее области определения, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — два произвольных числа из множества $R$, такие что $x_1 < x_2$.

Поскольку функция $g$ является возрастающей, из неравенства $x_1 < x_2$ следует, что $g(x_1) < g(x_2)$.

Теперь рассмотрим значения функции $f$ в точках $g(x_1)$ и $g(x_2)$. Так как функция $f$ также является возрастающей, а $g(x_1) < g(x_2)$, то $f(g(x_1)) < f(g(x_2))$.

Таким образом, мы получили, что для любых $x_1 < x_2$ выполняется неравенство $f(g(x_1)) < f(g(x_2))$. По определению, это означает, что функция $y = f(g(x))$ является возрастающей.

Ответ: функция $y=f(g(x))$ является возрастающей.

2) f и g — убывающие функции?

Воспользуемся определением убывающей функции. Функция называется убывающей, если для любых $x_1$ и $x_2$ из ее области определения, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — два произвольных числа из множества $R$, такие что $x_1 < x_2$.

Поскольку функция $g$ является убывающей, из неравенства $x_1 < x_2$ следует, что $g(x_1) > g(x_2)$. Знак неравенства меняется на противоположный.

Теперь рассмотрим значения функции $f$ в точках $g(x_1)$ и $g(x_2)$. Так как функция $f$ также является убывающей, а $g(x_1) > g(x_2)$, то $f(g(x_1)) < f(g(x_2))$. Знак неравенства снова меняется на противоположный.

Таким образом, мы получили, что для любых $x_1 < x_2$ выполняется неравенство $f(g(x_1)) < f(g(x_2))$. По определению, это означает, что функция $y = f(g(x))$ является возрастающей.

Ответ: функция $y=f(g(x))$ является возрастающей.