Номер 2.35, страница 30 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 2.35, страница 30.

Условие.

2.35. Решите уравнение:

1) $x^5 + x^3 + x = -3;$

2) $\sqrt{x+1} + \sqrt{x+6} + \sqrt{x+13} = 9;$

3) $x^3 + 2x\sqrt{x-1} = 12.$

Решение.

1) $x^5 + x^3 + x = -3$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$x^5 + x^3 + x + 3 = 0$

Рассмотрим функцию $f(x) = x^5 + x^3 + x$. Эта функция является суммой трех возрастающих функций ($y=x^5$, $y=x^3$, $y=x$), поэтому она строго возрастает на всей числовой оси.

Найдем производную левой части: $g(x) = x^5 + x^3 + x + 3$, $g'(x) = 5x^4 + 3x^2 + 1$.

Так как $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $g'(x) = 5x^4 + 3x^2 + 1 \ge 1 > 0$.

Поскольку производная функции всегда положительна, функция является строго возрастающей. Это означает, что уравнение $g(x)=0$ может иметь не более одного корня.

Найдем корень методом подбора. Проверим $x = -1$:

$(-1)^5 + (-1)^3 + (-1) = -1 - 1 - 1 = -3$.

Равенство $-3 = -3$ верное, значит $x = -1$ является корнем уравнения. Так как корень может быть только один, то это единственное решение.

Ответ: $-1$.

2) $\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 6} + \sqrt{x + 13} = 9$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ x + 6 \ge 0 \\ x + 13 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1 \\ x \ge -6 \\ x \ge -13 \end{cases}$

Общей областью определения является $x \ge -1$.

Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 6} + \sqrt{x + 13}$. Каждое из слагаемых является возрастающей функцией на ОДЗ. Сумма возрастающих функций также является строго возрастающей функцией.

Следовательно, уравнение $f(x) = 9$ может иметь не более одного решения.

Найдем решение методом подбора. Попробуем найти такое значение $x$, при котором подкоренные выражения являются полными квадратами. Проверим $x = 3$:

$\sqrt{3 + 1} + \sqrt{3 + 6} + \sqrt{3 + 13} = \sqrt{4} + \sqrt{9} + \sqrt{16} = 2 + 3 + 4 = 9$.

Равенство $9 = 9$ верное. Значение $x = 3$ принадлежит ОДЗ ($3 \ge -1$).

Таким образом, $x = 3$ является единственным решением уравнения.

Ответ: $3$.

3) $x^3 + 2x\sqrt{x - 1} = 12$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 + 2x\sqrt{x - 1}$.

На области определения $x \ge 1$ функция $y=x^3$ является возрастающей. Функции $y=2x$ и $y=\sqrt{x-1}$ также являются возрастающими и неотрицательными. Их произведение $y = 2x\sqrt{x-1}$ также является возрастающей функцией.

Сумма двух возрастающих функций $f(x) = x^3 + 2x\sqrt{x - 1}$ есть строго возрастающая функция на своей ОДЗ.

Это означает, что уравнение $f(x) = 12$ может иметь не более одного корня.

Найдем корень методом подбора. Проверим $x = 2$:

$2^3 + 2 \cdot 2 \sqrt{2 - 1} = 8 + 4\sqrt{1} = 8 + 4 = 12$.

Равенство $12 = 12$ верное. Значение $x = 2$ принадлежит ОДЗ ($2 \ge 1$).

Следовательно, $x = 2$ является единственным решением уравнения.

Ответ: $2$.