Номер 2.41, страница 31 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 2.41, страница 31.

Условие.

2.41. Решите систему уравнений $ \begin{cases} x^7 - y = y^7 - x, \\ x^2 + xy + y^2 = 12. \end{cases} $

Решение.

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^7 - y = y^7 - x, \\ x^2 + xy + y^2 = 12. \end{cases} $$

Рассмотрим первое уравнение системы и преобразуем его, сгруппировав слагаемые с $x$ и $y$:

$x^7 + x = y^7 + y$

Введем функцию $f(t) = t^7 + t$. Тогда первое уравнение примет вид $f(x) = f(y)$.

Чтобы определить свойства этой функции, найдем ее производную:

$f'(t) = (t^7 + t)' = 7t^6 + 1$

Поскольку $t^6$ всегда неотрицательно для любого действительного $t$ (то есть $t^6 \ge 0$), то $7t^6 \ge 0$. Следовательно, производная $f'(t) = 7t^6 + 1 \ge 1$ для всех $t \in \mathbb{R}$.

Так как производная функции $f(t)$ строго положительна на всей числовой оси, функция $f(t)$ является строго возрастающей. Для строго монотонной (в данном случае, строго возрастающей) функции равенство $f(x) = f(y)$ выполняется тогда и только тогда, когда $x = y$.

Таким образом, из первого уравнения системы следует, что $x=y$.

Теперь подставим это равенство во второе уравнение системы:

$x^2 + x \cdot x + x^2 = 12$

Упростим полученное уравнение:

$3x^2 = 12$

$x^2 = \frac{12}{3}$

$x^2 = 4$

Это уравнение имеет два корня:

$x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Так как $y = x$, для каждого значения $x$ мы находим соответствующее значение $y$:

1. Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 2$.

2. Если $x_2 = -2$, то $y_2 = -2$.

Таким образом, мы получили две пары решений: $(2, 2)$ и $(-2, -2)$.

Выполним проверку, подставив найденные пары в исходную систему.

Для $(2, 2)$:

$$ \begin{cases} 2^7 - 2 = 2^7 - 2 \quad \implies \quad 128 - 2 = 128 - 2 \quad \implies \quad 126 = 126 \\ 2^2 + 2 \cdot 2 + 2^2 = 4 + 4 + 4 = 12 \end{cases} $$

Оба равенства верны, значит, пара $(2, 2)$ является решением.

Для $(-2, -2)$:

$$ \begin{cases} (-2)^7 - (-2) = (-2)^7 - (-2) \quad \implies \quad -128 + 2 = -128 + 2 \quad \implies \quad -126 = -126 \\ (-2)^2 + (-2)(-2) + (-2)^2 = 4 + 4 + 4 = 12 \end{cases} $$

Оба равенства верны, значит, пара $(-2, -2)$ также является решением.

Ответ: $(2, 2), (-2, -2)$.