Номер 2.45, страница 31 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 2.45, страница 31.

Условие.

2.45. Докажите, что при всех $a \in [0; 1], b \in [0; 1], c \in [0; 1]$ выполняется неравенство $abc + 2 \ge a + b + c$.

Решение.

Для доказательства неравенства $abc + 2 \ge a + b + c$ при $a, b, c \in [0; 1]$ преобразуем его к виду $abc - a - b - c + 2 \ge 0$.

Рассмотрим левую часть неравенства как функцию трех переменных $f(a, b, c) = abc - a - b - c + 2$. Нам нужно доказать, что $f(a, b, c) \ge 0$ для всех $a, b, c$ из отрезка $[0; 1]$.

Зафиксируем переменные $b$ и $c$ и рассмотрим функцию $f$ как функцию одной переменной $a$ на отрезке $a \in [0; 1]$:

$f(a, b, c) = a(bc - 1) - (b + c - 2)$

Это линейная функция относительно $a$. Поскольку $b \in [0; 1]$ и $c \in [0; 1]$, их произведение $bc$ также принадлежит отрезку $[0; 1]$. Следовательно, коэффициент при $a$, равный $(bc - 1)$, является неположительным: $bc - 1 \le 0$.

Так как угловой коэффициент линейной функции $f(a, b, c)$ по переменной $a$ неположителен, эта функция является невозрастающей на отрезке $[0; 1]$. Свое наименьшее значение на этом отрезке она принимает в правом конце, то есть при $a=1$.

Таким образом, для любого $a \in [0; 1]$ выполняется неравенство $f(a, b, c) \ge f(1, b, c)$. Чтобы доказать, что $f(a, b, c) \ge 0$, достаточно доказать, что ее наименьшее значение $f(1, b, c)$ неотрицательно.

Найдем значение функции при $a=1$:

$f(1, b, c) = 1 \cdot bc - 1 - b - c + 2 = bc - b - c + 1$

Теперь нам нужно доказать неравенство $bc - b - c + 1 \ge 0$ для всех $b, c \in [0; 1]$. Разложим левую часть на множители:

$bc - b - c + 1 = b(c - 1) - (c - 1) = (b - 1)(c - 1)$

Поскольку $b \in [0; 1]$, то множитель $(b - 1)$ неположителен. Аналогично, поскольку $c \in [0; 1]$, то множитель $(c - 1)$ также неположителен. Произведение двух неположительных чисел всегда неотрицательно, следовательно, $(b - 1)(c - 1) \ge 0$.

Таким образом, мы показали, что $f(1, b, c) \ge 0$. А так как $f(a, b, c) \ge f(1, b, c)$ для любого $a \in [0; 1]$, то и $f(a, b, c) \ge 0$. Это доказывает исходное неравенство.

Ответ: Неравенство доказано.