Номер 2.50, страница 31 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 2.50, страница 31.

Условие.

2.50. Постройте график функции $y = \frac{2x^2 + 5x + 2}{x + 2}$.

Решение.

Для построения графика функции $y = \frac{2x^2 + 5x + 2}{x + 2}$ необходимо сначала проанализировать и упростить данное выражение.

Анализ и упрощение функции

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x + 2 \neq 0$, откуда следует, что $x \neq -2$. Таким образом, область определения функции $D(y): x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

Теперь упростим выражение, разложив числитель $2x^2 + 5x + 2$ на множители. Для этого решим квадратное уравнение $2x^2 + 5x + 2 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 3}{4} = \frac{-8}{4} = -2$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 3}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$.
Используя формулу разложения квадратного трехчлена $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, получаем:
$2x^2 + 5x + 2 = 2(x - (-2))(x - (-0.5)) = 2(x + 2)(x + 0.5) = (x + 2)(2x + 1)$.

Подставим полученное выражение в исходную функцию:
$y = \frac{(x + 2)(2x + 1)}{x + 2}$.
Так как $x \neq -2$, мы можем сократить дробь на $(x + 2)$, в результате чего функция принимает вид:
$y = 2x + 1$.

Построение графика

Мы установили, что график исходной функции совпадает с графиком линейной функции $y = 2x + 1$ для всех $x$, кроме $x = -2$. Это означает, что график представляет собой прямую линию с одной "выколотой" точкой.

Найдем координаты этой выколотой точки. Абсцисса точки $x = -2$. Чтобы найти ординату, подставим это значение в упрощенную функцию $y = 2x + 1$:
$y = 2(-2) + 1 = -4 + 1 = -3$.
Следовательно, выколотая точка имеет координаты $(-2; -3)$.

Для построения прямой $y = 2x + 1$ достаточно двух точек. Найдем их:
- если $x = 0$, то $y = 2 \cdot 0 + 1 = 1$. Получаем точку $(0; 1)$.
- если $x = 1$, то $y = 2 \cdot 1 + 1 = 3$. Получаем точку $(1; 3)$.

Теперь строим график: проводим прямую через точки $(0; 1)$ и $(1; 3)$ и на этой прямой отмечаем выколотую точку $(-2; -3)$ пустым кружком.

Ответ: Графиком функции $y = \frac{2x^2 + 5x + 2}{x + 2}$ является прямая $y = 2x + 1$ с выколотой точкой $(-2; -3)$.