Номер 3.2, страница 35 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 3. Чётные и нечётные функции - номер 3.2, страница 35.

Условие.

3.2. Функция $f$ чётная. Обязательно ли выполняется равенство $\frac{f(1)}{f(-1)} = 1?$

Решение.

3.2.

По определению, функция $f$ является чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Рассмотрим равенство $\frac{f(1)}{f(-1)} = 1$.

Поскольку функция $f$ чётная, для неё справедливо равенство $f(-1) = f(1)$. Подставив это в левую часть исходного выражения, получим: $\frac{f(1)}{f(-1)} = \frac{f(1)}{f(1)}$

Это выражение равно 1 только в том случае, если оно определено, то есть если его знаменатель не равен нулю. В данном случае знаменатель равен $f(-1)$ (а значит, и $f(1)$).

Однако в условии не сказано, что $f(-1) \neq 0$. Если мы сможем найти пример чётной функции, для которой $f(-1) = 0$, то для неё данное равенство выполняться не будет, так как левая часть будет не определена (деление на ноль).

Рассмотрим в качестве примера функцию $f(x) = x^2 - 1$.

1. Проверим, является ли эта функция чётной: $f(-x) = (-x)^2 - 1 = x^2 - 1 = f(x)$. Функция чётная.

2. Найдём её значения в точках $x=1$ и $x=-1$: $f(1) = 1^2 - 1 = 0$. $f(-1) = (-1)^2 - 1 = 0$.

3. Попытаемся проверить исходное равенство для этой функции: $\frac{f(1)}{f(-1)} = \frac{0}{0}$. Это выражение не определено. Следовательно, равенство $\frac{f(1)}{f(-1)} = 1$ для данной функции не выполняется.

Таким образом, равенство выполняется не для любой чётной функции.

Ответ: не обязательно.